Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Démonstration théorème du point fixe contractant
Bonjour,
J'essaye de démontrer le théorème du point fixe contractant.
"Théorème (Banach 1920, Picard 1890) :
Soient (X, d) un espace métrique complet non vide, et T : X → X une application contractante. Alors l'application T admet un unique point fixe. De plus, toute suite d'éléments de X définie par la donnée d'un x0 quelconque dans X et la relation de récurrence.
converge vers ce point fixe."
Pensez vous que la démonstration qui suit est correcte (aussi d'un point de vu rédactionnel) ?
En vous remerciant d'avance.
Soit .
Notons par la suite d'élément définie par
.
T étant une application contractante, il existe un réel pour tout
Ainsi, de manière récurrente,
Par l'axiome d'inégalité triangulaire pour une distance,
Par conséquent,
La suite étant géométrique de raison k, elle converge vers 0.
D'où, pour tout , il existe
tel que pour tout
,
Ainsi, pour tout entier naturel p et q tel que
.
Donc, est de Cauchy.
L'espace métrique X étant complet, on en déduit que la suite est convergente vers un élément
de
. Il en va alors de même pour
( une tel écriture est-elle correcte ?).
Par le critère séquentiel de continuité, il vient que la suite converge vers
.
Par l'unicité de la limite, .
Supposons par l'absurde qu'il existe un autre points fixe dans
.
Dans ce cas, en posant il vient que pour tout
,
.
Ainsi, converge vers
Or, par ce qui précède, converge vers x.
Il vient alors par unicité de la limite, que . Cela est absurde, il existe alors un unique point fixe.
Oui tu as l'idée de la démonstration mais c'est un peu vasouillard (pour montrer que la suite est de Cauchy). Il faudrait reprendre la rédaction. Par ailleurs si tu demandes si c'est correct c'est justement parce que à un certain moment la rédaction est vague.
Concernant l'unicité pour 2 point fixes on peut faire mieux
...
salut
je reverrai bien le passage suivant à détailler plus :
Par l'axiome d'inégalité triangulaire pour une distance,
Par conséquent,
La suite
D'où, pour tout
ensuite pour le point fixe on a plus simple :
si a et B sont dux pointd fixes alors |T(b) - T(a)| < k|b - a| <=> ...
or que sait-on de k ?
Merci pour votre réponse.
En effet, pour l'unicité du point fixe, votre méthode est superbe.
Je vais essayer de reprendre la rédaction pour montrer que la suite est de Cauchy dans ce cas.
Pour le passage sur l'unicité du point fixe.
Supposons que et
soit deux point fixes alors, par l'axiome de séparation des distances,
.
L'espace métrique étant contractant, il existe un réel k,
, tel que
.
D'où,
.
Cela est absurde i.e il n'y au plus qu'un seul point fixe.
ça ne va pas bien !! tu compliques inutilement les choses !!
soit a et b deux points fixes.
et je ne dis surtout pas qu'ils sont distincts ... puisque je vais montrer qu'ils sont égaux !!
or k < 1 donc k - 1 < 0 donc d(a, b) = 0 <=> a = b
(car la seule distance négative est 0)
Ne faudrait-t-il pas juste changer l'ordre des choses :
Soit
Par l'axiome d'inégalité triangulaire pour une distance,
(Cela, je ne pense pas qu'il faille aller plus en profondeur. nan ?)
T étant une application contractante, il existe un réel tel que
Ainsi, de manière récurrente,
(peut-être une récurrence ?)
Par conséquent,
ouais bof ...
il faudrait surtout fignoler cette somme pour montrer qu'elle est bornée par 
pour tout k ...
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac