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demonstration trigo

Posté par bilame (invité) 01-07-07 à 11:04

Bonjour a tous,
comment démontrer que :
sin((2p+1)\varphi)=\sum^{p}_{k=0}(-1)^k\left(^{2p+1}_{2k+1} \right)cos^{2p-2k}(\varphi)sin^{2k+1}(\varphi)

merci pour votre aide:
Bilame

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 11:09

Bonjour,

C'est un exercice en tant que tel, ou bien au sein d'un problème plus vaste ?

Après développement, quelle est la partie imaginaire de 3$(\cos\phi+i\sin\phi)^{2p+1} ?

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 11:27

Pour le plaisir du LaTeX...

3$\begin{array}{rcl} \\ \sin(2p+1)\varphi &=& Im\left(e^{i(2p+1)\varphi}\right)\\ \\ &=& Im\left(\left(e^{i\varphi}\right)^{2p+1}\right)\\ \\ &=& Im\left(\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{2p+1}\right)\\ \\ &=& Im\left(\Bigsum_{0\le n\le 2p+1}{2p+1\choose n}\cos^{2p+1-n}\varphi \, i^n\sin^n\varphi\right)\\ \\ &=& Im\left(\Bigsum_{0\le n\le 2p+1}{2p+1\choose n}\cos^{2p+1-n}\varphi\left\{\begin{array}{rl} \\ 1 & \mathrm{si\ }n\equiv 0\,(4)\\ \\ i & \mathrm{si\ }n\equiv 1\,(4)\\ \\ -1 & \mathrm{si\ }n\equiv 2\,(4)\\ \\ -i & \mathrm{si\ }n\equiv 3\,(4) \\ \end{array}\right\}\sin^n\varphi\right)\\ \\ &=& \Bigsum_{0\le n\le 2p+1\\n\,\mathrm{impair}}(-1)^{\frac{n-1}{2}}{2p+1\choose n}\cos^{2p+1-n}\varphi\sin^n\varphi\\ \\ && \left[n \leftarrow 2k+1\right]\\ \\ &=& \Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^{k}{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ \end{array}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
1 Schumi 1re : demonstration trigo 01-07-07 à 12:08

Eh ben dis donc, c'est magnifique! Bravo!

P'tite question: Ca peut pas se traiter par récurrence? Pour faire plus simple?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 12:11

C'est possible par récurrence, mais je pense que c'est bien plus lourd. Cela nécessite d'appliquer les formules trigonométriques ET les formules sur les coefficients binomiaux avec un écart de 2 sur l'indice.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 12:12

Ou bien tu demandes cela comme une provocation LaTeX-ique ?

Posté par
1 Schumi 1re : demonstration trigo 01-07-07 à 12:13

Les deux.
C'est tellement beau () que je vais pas m'en priver.


Ayoub.

Posté par bilame (invité)re : demonstration trigo 01-07-07 à 12:22

Bravo Nicolas_75 !
oui, c'était dans le concours du Capes phys mention complémentaire math 2007.
2eme question de la deuxieme partie : utilisation des polynomes.

pour la premiere partie c'etait convergence de suite ... trivial
la troisieme partie: intégrales de Wallis ... trivial
la quatrieme: noyau de Dirichlet ... nettement moins trivial
si ça interesse quelqu'un je peux le scanner.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 12:30

bilame >> je t'en prie.

1 Schumi 1 >> je relève le défi, mais pas tout de suite.
J'essaie de réviser le code (au sens du permis de conduire chinois) puis... salle de sport !

Nicolas

Posté par bilame (invité)re : demonstration trigo 01-07-07 à 13:19

voila c'est scanné:

sous:
biehlerbruno.free.fr/math/

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 15:02

C'est parti...

On veut montrer par récurrence sur p que :
\fbox{\begin{array}{rcl} \\ \sin(2p+1)\varphi &=& \Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &=& \Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^{p-k}{2p+1\choose 2k}\cos^{2k}\varphi\sin^{2p+1-2k}\varphi\\ \\ \cos(2p+1)\varphi &=& \Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^{p-k}{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2k+1}\varphi\sin^{2p-2k}\varphi\\ \\ &=& \Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k}\cos^{2p+1-2k}\varphi\sin^{2k}\varphi\\ \\ \end{array}}
(les lignes 2 et 4 se déduisent des lignes 1 et 3 par un simple changement d'indice k\mapsto p-k)

Initialisation : laissée au lecteur.

Hérédité : on ne va la montrer que pour la formule en sinus. Celle en cosinus se traite de façon similaire.

\sin(2p+3)\varphi=\sin\left((2p+1)+2\right)\varphi

Or \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a. Donc :
\sin(2p+3)\varphi=\sin(2p+1)\varphi\cos 2\varphi+\cos(2p+1)\varphi\sin 2\varphi

Or \cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi et \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi. Donc :
\begin{array}{rl}\sin(2p+3)\varphi=&\sin(2p+1)\varphi\cos^2\varphi\\ \\ &-\sin(2p+1)\varphi\sin^2\varphi\\ \\ &+2\cos(2p+1)\varphi\sin\varphi\cos\varphi \\ \end{array}

On applique l'hypothèse de récurrence (lignes 1 et 4 de l'encadré) :
\begin{array}{rl}\sin(2p+3)\varphi=&\Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &-\Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p-2k}\varphi\sin^{2k+3}\varphi\\ \\ &+2\Bigsum_{0\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi \\ \end{array}

Dans la première somme, on isole le terme correspondant à k=0.
Dans la deuxième somme, on isole le terme correspondant à k=p.
Dans la troisième somme, on isole le terme correspondant à k=0.
On obtient :
\begin{array}{rl}\sin(2p+3)\varphi=&\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &-\Bigsum_{0\le k\le p-1}(-1)^k{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p-2k}\varphi\sin^{2k+3}\varphi\\ \\ &+2\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &+(2p+1)\cos^{2p+2}\varphi\sin\varphi-(-1)^p\sin^{2p+3}\varphi+2\cos^{2p+2}\varphi\sin\varphi \\ \end{array}

Dans la deuxième somme, on procède au changement d'indice k\mapsto k-1, et on regroupe deux termes de la dernière (4ème) ligne :
\begin{array}{rl}\sin(2p+3)\varphi=&\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k+1}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &+\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k-1}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &+2\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k{2p+1\choose 2k}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &+(2p+3)\cos^{2p+2}\varphi\sin\varphi+(-1)^{p+1}\sin^{2p+3}\varphi \\ \end{array}

On regroupe les trois sommes :
\begin{array}{rl}\sin(2p+3)\varphi=&\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k\left[{2p+1\choose 2k+1}+2{2p+1\choose 2k}+{2p+1\choose 2k-1}\right]\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &+(2p+3)\cos^{2p+2}\varphi\sin\varphi+(-1)^{p+1}\sin^{2p+3}\varphi \\ \end{array}

On simplifie le crochet grâce à une double-application de la relation du triangle de Pascal :
\begin{array}{rl}\sin(2p+3)\varphi=&\Bigsum_{1\le k\le p}(-1)^k{2p+3\choose 2k+1}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi\\ \\ &+(2p+3)\cos^{2p+2}\varphi\sin\varphi+(-1)^{p+1}\sin^{2p+3}\varphi \\ \end{array}

Or les deux termes de la seconde ligne correspondent aux indices manquants k=0 et k=p+1 de la somme de la première ligne. Donc :
\sin(2p+3)\varphi=\Bigsum_{0\le k\le p+1}(-1)^k{2p+3\choose 2k+1}\cos^{2p+2-2k}\varphi\sin^{2k+1}\varphi

CQFD.

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
infophilere : demonstration trigo 01-07-07 à 15:15



Le temps que ça doit te prendre

Salut Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : demonstration trigo 01-07-07 à 15:27

Salut Kévin,

Ce coup-ci, cela m'a pris plus de temps de trouver la démonstration que de la taper. Je voyais quelle relation du triangle de Pascal (sautant une ligne) utiliser, mais j'ai mis du temps avant de trouver le bon début de démonstration, avec les bonnes formules trigonométriques, pour y arriver.

Donc pas de sport, et retard sur les révisions du code.

Nicolas

Posté par
Skopsre : demonstration trigo 01-07-07 à 15:47

Super

Skops

Posté par
1 Schumi 1re : demonstration trigo 02-07-07 à 09:13

Tu as gagner le défi LaTex-ique et moi le droit d'admirer un magnifique post en Latex.



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