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Démonstration valeurs de j^n en fonction de n
Bonjour, je dois faire un DM de maths et il y a une question d'un exercice (sur les complexes) sur laquelle je bloque
L'énoncé donne :
j=-1/2+i(√3)/2
1) Calculer j^2, j^3 et 1+j+j^2
2) Montrer que pour tout entier naturel n :
(1+j)^2n+1=-j^n+2
3) Quelle conjecture peut-on faire sur les nombres complexes j^n suivant les valeurs entières positives de n ? La démontrer.
4) que vaut j^2019 ?
Alors pour la 1) je trouve : j^2=jbarre, j^3 = 1 et 1+j+j^2=0
Pour la 2) j'ai réussi en redéveloppant (1+j)^2n+1
Pour la 3) c'est la que je bloque :je trouve bien les conjectures: si n=3p avec p entier
alors j^n=1 ; si n =3p+1 alors j^n =j et pour n=3p+2 j^n=jbarre
alors seulement je n'ai aucune idée de comment démontrer cela ...
Pour la 4 je suppose que comme 2019 = 3*673 alors j^2019 = 1 ? ( ma calculatrice me donne un autre résultat je ne comprends pas ou le raisonnement est faux)
du coup voila j'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour la 3) et la 4) Merci !
Ah oui et aussi je sais bien que j'ai dû démontrer une formule au dessus mais premièrement je n'arrive pas à l'interpréter et deuxiemement je ne vois pas comment je pourrais l'utiliser puisqu'elle met en jeu des ^2n et non ^3n
salut
j^0 = 1
j^1 = j
j^2 = j^2
j^3 = 1
il suffit de raisonner suivant n modulo 3
2/ n'est pas compréhensible : qu'est-ce qui est en exposant ?
Merci pour la réponse rapide carpediem
Pour la deux on a (1+j)^(2n+1) = -j^(n+2)
et sinon oui je vois bien quelles valeurs va prendre j^n en modulo 3 mais je ne sais pas comment présenter ma démonstration car si je reste sur du :
si n= 0 [3] alors j^n = 1
alors ca reste qu'une conjecture non ?
te permettra de faire ta récurrence tout simplement ...
ou encore plus simple ...
1 + j = 1 + j + j^2 - j^2 = -j^2 et il suffit d'élever à la puissance n + 1 ...
Merci c'était simple en réalité ^^,
je ne pense pas faire de récurrence simplement je vais juste dire que :
j3n=(j3)n
=1n
=1 car 1n=1 pour tout n appartenant a N
je ferais des démonstrations analogues pour les autres cas.
en ce qui concerne j2019 je compte dire que
j2019=(j3)673 car 2019/3=673
=1673
=1
ce qui revient a dire que 2019 est un multiple de 3 et peut donc s'écrire sous la forme 3*673 et on a vu que j3n= 1 donc j2019=1
Mon seul probleme est que ma calculatrice me met que j2019=1+2,92*10-11i
alors que pour tout les jn avec n multiples de 3 compris entre 1 et 99 ca me met bien 1
bien sur puisqu'elle ne travaille qu'avec des arrondis !!!
que peux-tu dire de 2,92 * 10^(-11) ?
essaie avec un calculateur formel ...
ah oui c'est vrai que la calculatrice travaille avec √3 en arrondi .. Du coup 2,92*10-11 est très proche de 0.
Merci beaucoup pour l'aide 
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