Bonjour !
Je suis actuellement en prépa et j'ai un devoir 100% démonstrations sur les injections et surjections pour la rentrée...
J'ai commencé à m'énerver seule dessus et finalement je n'ai pas pu résister à l'appel de "l'aide internet".

Seulement je ne comprends pas vraiment ce que j'ai trouvé, et j'ai pas envie de tout recopier sans pouvoir m'expliquer.

Voici la première démonstration :
(On a deux applications f : E -> F et g : F -> G)

* " Si   g o f    est injective,  alors  f  est injective "

Supposons g o f  injective et montrons que f est injective. Soit x 1 et  x 2 tels que
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) . Or g est une application donc g (f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) ⇔ ( g o f ) ( x 1 ) = ( g o f ) ( x 2 ) ⇒ x 1  =
x 2  car g o f  est injective. f est donc injective.

Et la seconde :

* " Si   g o f  est surjective, alors g est surjective "

Supposons que g o f  est surjective et montrons que g est surjective.
Pour tout z ∈ G, il existe x ∈ E tel que z = ( g o f ) ( x ) car g o f est surjective. On a alors z = g ( f ( x ) ) avec f(x) ∈ F.
g est donc surjective.


Si quelqu'un aurait l'amabilité de m'expliquer, voire d'étoffer ces deux démonstrations cela ne serait pas de refus !

Merci à l'avance
Jillt.