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Démonstrations Intégration

Posté par
Martin1998 29-03-17 à 22:28

Bonsoir,

J'ai une démonstration à faire sur les intégrales.
Pourriez-vous m'aider à la faire svp.

Si f : [a,b] → R est continue
Alors Fa : x  → ∫x f(t)dt est dérivable, et Fa′ = f(x)

Merci d'avance !

Posté par
carpediemre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:48

salut

quelles sont les bornes de l'intégrale ?

Posté par
carpediemre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:49

et exercice classique (qui se démontre en terminale) ...

Posté par
etniopalre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:51

F : x    ∫[a,x] f(t)dt est dérivable, et F ′ = f  

Posté par
carpediemre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:54

merci je sais ... mais l'énoncé est tellement mal écrit ...

sans rigueur on ne peut faire sérieusement des math ...

Posté par
Martin1998re : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:55

borne = [a,x]

Posté par
Martin1998re : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:56

Excusez-moi, j'ai du mal avec l'utilisation des symboles mathématiques sur ce site... Je suis nouveau, veuillez m'en excuser ! :/

Posté par
verdurinre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:58

Bonsoir,
je me permets de réécrire la question.

Si f : [a,b] → R est continue

alors F_a : x \mapsto \int_a^x f(t)\text{d}t est dérivable, et F'_a(x)=f(x) pour x\in[a\,;b]

La démonstration dépend de la définition de l'intégrale.

Posté par
carpediemre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 22:59

Martin1998 @ 29-03-2017 à 22:28

Bonsoir,

J'ai une démonstration à faire sur les intégrales.
Pourriez-vous m'aider à la faire svp.

Si f : [a,b] → R est continue
Alors Fa : x  → ∫x f(t)dt est dérivable, et Fa′ = f(x)

Merci d'avance !
est faux

soit on écrit F' = f soit on écrit F'(x) = f(x)

Posté par
carpediemre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 23:01

soit x un réel de [a, b] fixé alors pour tout y dans [a, b] :

F(x) - F(y)= \int_a^x f(t)dt - \int_a^y f(t)dt = ...

Posté par
Martin1998re : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 23:01

Ok, merci pour l'info

Posté par
Martin1998re : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 23:05

F(x) - F(y) = \int_{y}^{x}{f(t)dt}

Posté par
Martin1998re : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 23:10

Car on sait que :

\int_{a}^{x}{f(t)dt} = \int_{a}^{y}{f(t)dt} + \int_{y}^{x}{f(t)dt}

Posté par
verdurinre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 23:28

En fait la question est comment définis tu \int_a^x f(t)\text{d}t .

La suite est en général assez facile.

Posté par
carpediemre : Démonstrations Intégration 29-03-17 à 23:29

Martin1998 @ 29-03-2017 à 23:05

F(x) - F(y) = \int_{y}^{x}{f(t)dt}
ok

maintenant f est continue donc ...

Posté par
SkyMtnre : Démonstrations Intégration 30-03-17 à 21:27

Bonsoir, en sup, je pense qu'il s'agit de l'intégrale des fonctions continues par morceaux.
L'idée de la preuve est assez simple à comprendre.
On veut montrer que \frac{F(x) - F(x_0)}{x-x_0} \xrightarrow[x\to x_0]{} f(x_0) = F'(x_0) en supposant f : I \to \R continue.
Comme f est continue sur I, on a pour x_0\in I fixé,\forall\varepsilon>0, \exists\eta >0 : \forall t\in I, \vert t - x_0\vert \leqslant \eta \Rightarrow \vert f(t) - f(x_0)\vert\leqslant\varepsilon.
Il suffit ensuite de montrer (en utilisant l'inégalité triangulaire) que pour 0 < \vert x-x_0\vert \leqslant \eta (car x\neq x_0), on a
\vert F(x) - F(x_0) - (x-x_0)f(x_0)\vert \leqslant \vert x - x_0\vert \,\varepsilon , puis conclure.

Posté par
verdurinre : Démonstrations Intégration 31-03-17 à 22:10

Bonsoir SkyMtn.
Je connais l'intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue et j'ai entendu parler d'autres définitions.
Mais je n'ai jamais rencontré « l'intégrale des fonctions continues par morceaux. »


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