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Démonstrations - Suites et séries

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 02-01-07 à 15:07

Bonjour, j'ai quelques démonstrations à faire et je dois admettre que j'ai des difficultés...

1. La série de terme général \Large u_n converge. Démontrer que la suite u tend vers 0.

2. Démontrer qu'une série absolument convergente est convergente mais que la réciproque est fausse. J'ai réussi à montrer que c'était le cas, mais pour montrer que la réciproque est fausse, je sèche.

Il y en a d'autres mais peut-être qu'en comprenant le raisonnement à suivre sur celles-là je pourrais avancer sur le reste.

Merci d'avance de vos idées.

@+

Posté par
Roulianere : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:08

Bonour,

Pour le 1), tu peux écrire que U_n=S_n-S_{n-1}

Posté par
jeansebre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:10

Salut Rouliane!

Bonne année 2007!

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:11

Salut Rouliane

Ah oui exact !

Etant donné que la série converge :

\Large S_n - S_{n-1} \rightarrow 0

et \Large U_n = S_n - S_{n-1}\rightarrow 0

Merci

Posté par
jeansebre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:13

pour la 2:

\rm un =\frac{(-1)^n}{n}  est une série convergente mais pas absolument convergente.

Posté par
Roulianere : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:15

Salut Jeanseb, ça faisait longtemps ! Bonne année à toi aussi !

Posté par
jeansebre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:19

\rm\Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}= -ln2

\rm\Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = +\infty

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:19

Oui effectivement un contre exemple est suffisant... Et de plus j'ai étudié ce cas il y a peu

Merci jeanseb !

Du coup, ca risque de pas m'aider énormément pour les questions qui suivent ^^

Posté par
jeansebre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:22

C'est un plaisir!

Bonne année, Puisea!

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:54

On me demande ensuite de démontrer la proposition suivante :

On suppose que les termes de la suite u sont tous de même signe. Démontrer que la série de terme général Un est alors convergente si, et seulement si, elle est absolument convergente.

Voila ma réponse :

\Large V[S(u)]_n=\sum_{k=0}^{n-1}|S(u)_{k+1}-S(u)_k| = \sum_{k=0}^{n-1}|u_{k+1}|=\sum_{k=1}^n |u_k| = |S(u)_n-u_0|

D'où la proposition. C'est bon ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 15:59

Bonjour à tous
C'est trop compliqué.

Si la série est à termes tous positifs convergent ou absolument convergent c'est pareil!
Si les termes sont tous négatifs, elle converge si et seulement si son opposée converge, et nois voilà ramenés au problème précédent!

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:05

Bonjour Camélia.

Je pense comprendre, mais en quoi cela diffère-t-il de mon développement ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:27

Toujours dans mes démos :

On a deux suites équivalentes u et v.

Il faut démontrer que : \Large \exists N_0 \in\mathbb{N} tel que \Large \forall n \ge N_0 :

\Large \frac{|u_n|}{2} \le |v_n| \le \frac{3|u_n|}{2}

Je suppose que les valeurs 1/2 et 3/2 sont arbitraires ?

Bon sinon je suis un peu dérouté... Est-ce que je dois travailler avec des \Large \epsilon et la définition de limite. Ou juste travailler sur le rapport d'équivalence ?

Le problème c'est que l'équivalence ne nous renseigne pas sur l'existence d'une limite ou pas pour les suites u et v.

Des idées ?

Posté par
Roulianere : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:29

Re,

Il suffit de prendre epsilon =1/2

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:31

Re Rouliane.

"Il suffit" ?

Je ne te suis pas là.

Posté par
Roulianere : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:34

Si les suites sont équivalentes, pour tout espilon >0, il existe N0 etc ... tel que lim |un/vn - 1|< espilon.

En choisissant espilon =1/ on arrive à ton résultat, non ?

Posté par
Roulianere : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:36

vn ne s'annulant pas à partir d'un certain rang

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:46

Ah oui je pense comprendre.

\exists N_0 \in\mathbb{N} tel que \forall\epsilon >0 on a :

|\frac{v_n}{u_n}-1|\le\epsilon

si on pose \epsilon = \frac{1}{2}

On a |\frac{v_n}{u_n}-1|\le\frac{1}{2}

Ce qui nous donne : |v_n|%20\le%20\frac{3|u_n|}{2}

J'ai bien compris ? Pour l'autre partie de l'inégalité ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 16:49

Pour l'autre inégalité on prend :

\epsilon = 1

et le rapport inverse.

Ensuite on dit que N0 est le maximum des rangs auquel on a ces deux ingélités ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Démonstrations - Suites et séries 02-01-07 à 17:11

Ok pour cette question, je pense avoir rédigé correctement pour avoir l'inégalité. Merci Rouliane.

En revanche, je ne suis pas sûr de bien saisir et encore moins de voir comment faire la question suivante :

Toujours avec u et v deux suites équivalentes. Démontrer que V[S(u)] est une suite à variation bornée si, et seulement si, V[S(v)] est une suite à variation bornée.

Quand on dit V[S(u)] est une suite à variation bornée. C'est V[S(u)] ou V[V[S(u)]] ?

Merci.


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