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Démontrer des inégalités

Posté par
Laurierie 13-11-05 à 14:33

Bonjour, je travaille actuellement sur un exercice qui me pose quelques difficultés:

Soit m appartenant à N privé de 0 et 1.
Démontrer les égalités suivantes:

1.(x^(2m)-1)/(x²-1) = \prod (x²-2xcos(k/m)+1),de k=1 à (m-1).

Je suis parti sur un raisonnement par récurrence ,pas de probleme pour l'initialisation mais je n'arrive pas a conclure pour m+1. Je cherche à calculer le produit de cette expression de k=1 à m-1 (ce qui me permet d'utiliser l'hypothese de récurrence) puis je le multiplie par le produit de k=m à m ...

2.(x^(2m+1)-1)/(x-1) = \prod (x²-2xcos(2k/(2m+1))+1) de k=1 à m.
Pareil

3. Calculer la limite de (x^(2m)-1)/(x²-1) quand x tend vers 1. Je trouve m car on reconnait la somme des termes d'une suite géométrique.
En déduire de k=1 à m sin(k/2m)= (m)/2^(m-1).

Voilà,pourriez vous me donner quelques indications?? Merci beaucoup

Posté par
franzre : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 18:14

1/

\large x^2-2x\cos\frac {k\pi}m+1 \; =\; \(x-e^{i\frac {k\pi}m}\)\(x-e^{-i\frac {k\pi}m}\)\;=\;\(x-e^{i\frac {2k\pi}{2m}}\)\(x-e^{-i\frac {2k\pi}{2m}}\)

Donc
\array{ccl$\Bigprod_{k=1}^{m-1}(x^2-2x\cos\frac{k\pi}m+1)&\;=\;&\Bigprod_{k=1}^{m-1}\(x-e^{i\frac{2k\pi}{2m}}\)\(x-e^{-i\frac {2k\pi}{2m}}\)\\&=&\Bigprod_{\relstack{k=-(m-1)}{k\neq0}}^{m-1}\(x-e^{i\frac {2k\pi}{2m}}\)\\&=&\frac{\Bigprod_{k=-(m-1)}^{m}\(x-e^{i\frac{2k\pi}{2m}}\)}{\(x-e^{i\frac{2\,0\pi}{2m}}\)\(x-e^{i\frac{2\,m\pi}{2m}}\)} \hspace{150} {\rm (on a toutes les racines 2m^\circ del'unite au numerateur)}\vspace{80}\\&=&\frac{\(x^{2m}-1\)}{(x-1)(x-(-1))}\vspace{60}\\&=&\Large\frac{x^{2m}-1}{x^2-1}}

Posté par
Pookette Correcteurre : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 18:16

franz, quelle conclusion !!

Pookette

Posté par
franzre : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 18:16

1/

\large x^2-2x\cos\frac {k\pi}m+1 \; =\; \(x-e^{i\frac {k\pi}m}\)\(x-e^{-i\frac {k\pi}m}\)\;=\;\(x-e^{i\frac {2k\pi}{2m}}\)\(x-e^{-i\frac {2k\pi}{2m}}\)

Donc
\array{ccl$\Bigprod_{k=1}^{m-1}(x^2-2x\cos\frac {k\pi}m+1)&\;=\;&\Bigprod_{k=1}^{m-1}\(x-e^{i\frac {2k\pi}{2m}}\)\(x-e^{-i\frac {2k\pi}{2m}}\) \\ & = & \Bigprod_{\relstack{k=-(m-1)}{k \neq 0}}^{m-1}\(x-e^{i\frac {2k\pi}{2m}}\) \\ & = & \frac {\Bigprod_{k=-(m-1)}^{m}\(x-e^{i\frac {2k\pi}{2m}}\)}{\(x-e^{i\frac {2\,0\pi}{2m}}\)\(x-e^{i\frac {2\,m\pi}{2m}}\)} \hspace{100} {\rm on a toutes les racines 2m^\circ de l^'unite au numerateur} \vspace {80}\\ & = & \frac { \(x^{2m}-1\)}{(x-1)(x-(-1))} \vspace {60} \\& = & \Large\frac { x^{2m}-1}{x^2-1} }

Posté par
franzre : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 18:17

désolé pour le loupé.

Posté par
franzre : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 18:34

Pour le 2/ il suffit d'appliquer le même type de raisonnement.

3/

On reprend le 1/ en faisant tendre x vers 1.

x^2-2x\cos\frac {k\pi}{m} + 1 \relstack{\longrightarrow}{x \to 1} 2-2\cos\frac {k\pi}{m}=4\,\sin^2(\frac {k\pi}{2m})= \(2\,\sin(\frac {k\pi}{2m})\)^2


Tu as démonté au début du 3 que \lim_{x \to 1}\frac {x^{2m}-1}{x^{2}-1}=m donc

\array{ccl$ \Bigprod_{k=1}^{m-1}\(x^2-2x\cos\frac {k\pi}{m}+1\) & \relstack{\longrightarrow}{x \to 1} & \Bigprod_{k=1}^{m-1}\(2\,\sin(\frac {k\pi}{2m})\)^2 \vspace{80}\\ & \relstack{\longrightarrow}{x \to 1} & m}

Donc
m \; = \; \Bigprod_{k=1}^{m-1}\(2\,\sin(\frac {k\pi}{2m})\)^2 \; = \; \( 2^{m-1} \Bigprod_{k=1}^{m-1}\sin(\frac {k\pi}{2m})\)^2

Comme tous les sinus sont positifs

\red \Large \Bigprod_{k=1}^{m-1}\sin(\frac {k\pi}{2m})\;=\; \frac { \sqrt{ m}} {2^{m-1}}

Posté par
Laurieriere : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 18:41

Bonsoir Franz, et merci pour toutes tes réponses. Je n'aurai jamais pensé à un tel raisonnement en introduisant les complexes. Je te remercie pour ta présentation et ton explication on ne peut plus claire. A bientot sur l'île

Posté par
franzre : Démontrer des inégalités 13-11-05 à 19:16

Avec plaisir. A bientôt


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