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Démontrer la continuité sur I
Bonjour,
"Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I. Soit a un
élément de I. La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point a de I"
Dans mes cours, à chaque fois, je dis "e^x est continue sur R car c'est une fonction usuelle" mais je n'ai jamais eu de démonstration
Ma question est : Je me demandais comment démontrer la continuité d'une fonction sur un intervalle ? Par exemple comment démontrer que e^x est continue sur R ? Car il est bien entendu impossible de vérifier qu'elle est continue pour chaque point de l'intervalle.
Bonjour
N'aurais-tu pas vu un théorème, en Terminale :
Si une fonction est dérivable en a , alors est continue en a ?
Attention réciproque fausse !
bonjour,
il y a plusieurs manière d'introduire la fonction exponentielle selon le niveau d'étude.
une des manières consiste à définir entre autres une fonction qui est égale à sa dérivée, donc on impose déjà la continuité.
une autre est de définir l'exponentielle comme une série
Si, mais cela ne prouve en rien que f est dérivable sur I ?! a est UN point de l'intervalle, pas tous les points ?
D'accord pour l'exponentielle. Pour la fonction carré alors ? Comment démontrer rigoureusement qu'elle est continue sans dire "c'est une fonction usuelle"
Oops, J'avais mal lu ton théorème, mais partir de la dérivé suppose que la fonction est continue ? Et même si ce n'est pas le cas le meme problème revient. Il faudrait dans ce cas montrer que x^2 est dérivable sur R, càd pour tous les points a de R, sans dire "c'est une fonction usuelle connue donc dérivable sur R".
Bonjour Esyy.
Pour la fonction "carré", tu sais déjà que est continue et que le produit de deux fonctions continues est continue.
En revanche, pour la fonction exponentielle, c'est plus délicat, car partir de la définition de l'exponentielle comme étant une fonction y telle que y' = y suppose qu'on a déjà démontré qu'il existe de telles fonctions, ce qui relève du théorème de Cauchy-Lipschitz.
Sinon, comme l'a dit DOMOREA (que je salue au passage), l'exponentielle peut être définie comme une série entière et démontrer sa continuité relève de certains théorèmes sur les limites uniformes des séries.
Je pense qu'en terminale, il n'y a guère mieux à faire que d'accepter la continuité de l'exponentielle.
Bonjour,
une autre construction est possible avec des outils de Terminale seulement et qui permet d'obtenir toutes les propriétés de exp via :
.
Merci pour vos réponses
Jsvdb, ok pour la fonction carré. Mais comment alors démontrer formellement que x --> x est continue sur R ?
Niveau licence du coup !
Quelle définition as-tu d'une fonction continue d'un espace topologique dans un topologique
?
Une fonction f est continue en a par définition si quand x -> a, f(x) -> f(a)
Et quand x -> a bah x -> a...
salut
si on connait le résultat sur la fonction logarithme (qui elle est continue et dérivable si on la définit comme unique primitive de la fonction inverse prenant la valeur 0 en 1 et que la fonction exp est la réciproque de la fonction ln) alors en posant x = ln u on a :
ce qui prouve la dérivabilité et donc la continuité de la fonction exp ...
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