Bonjour

J'ai l'impression que tu es parti à l'envers! Tu as prouvé que le complémentaire des diadiques est dense.

Il faut montrer que dans tout intervalle non vide il existe au moins un diadique!

Bonjour !
Si tu pars d'un réel tu ne peux pas te contenter de montrer que l'ensemble est non vide ! Et ajouter qu'il contient une infinité de , réel unique dans ta démonstration.
Il faut surtout montrer l'existence d'un qui convienne !
Autrement dit vérifiant :

Salut
1-Montre l'énoncé pour   avec la méthode de dichotomie.
2-Tu en déduis que qu'il existe un p-adique     tel que .
3-En suite tu remarque que si    est rationnel p-adique et    un
     entier alors    est rationnel p-adique puis tu conclus.

Bonjour à tous,

Merci énormément pour vos réponses.
En effet, j'ai complètement raté mon raisonnement en montrant l'existence de x et en concluant ce qui ne démontre rien...

J'ai essayé de refaire mon raisonnement comme dit:

On suppose qu'il existe x appartenant à R et epsilon > 0.

Alors  E(x) <= x < E(x) + 1
alors  (E(x) + 1 - 1) 2^0 <= x < (E(x) + 1) / 2^0
on pose p = E(x) + 1:
alors: p / 2^0 - 1 -   <= x  < p / 2^0 + (1)

Ce qui vérifie l'inégalité de départ avec p/ 2^0 qui appartient à A.
On a donc bien trouvé un couple qui vérifie l'inégalité.

Par contre encore une fois j'ai peur que la conclusion soit mauvaise et que l'inégalité (1) ne correspond pas à celle que l'on veut montrer :/

salut

2^0 = ... ?

soit l'ensemble des rationnels dyadiques

par définition de D alors avec

donc montrer que D est dense dans R équivaut à montrer que E est dense dans [0, 1]

car pour tout réel x :

posons alors y = x - E(x) et soit h > 0 un réel

alors il existe un entier k tel que

alors

alors y appartient à l'un de ces intervalles et donc on a trouver un dyadique e de E tel que |y - e| < h

donc E est dense dans [0, 1]

et si on pose n = E(x) et f = n + e alors alors f est un dyadique de D et |x - n| < h

Merci Carpediem.

Le 2^0 représente 2 puissance 0.
Dans ta démonstration il y a des choses que je ne comprends pas car on ne l'a pas encore étudié comme par exemple: le U ect. mais j'ai compris l'essentiel.

Néanmoins je ne sais pas si ma démonstration est bonne :/ est-ce que vous pourriez me dire ce qui y est correcte et faux?

et ça vaut combien 2^0 ? donc ta démonstration ne va pas du tout ...

et le symbole de l'union tu connais pas ?

2^0? Comme 2 puissance 0 vaut 1 je voulais ruser pour encadrer x par des rationnels dyadiques car on aurait bien un entier relatif sur 2 puissance 0.

Je ne vois pas où placer le symbole de l'union dans ma démonstration? :/

Ah je suis bête j'avais mal compris vos propos.
Je connais le symbole de l'union c'est juste que dans votre U il semble y avoir des indices  dont je ne comprends pas la signification

ben je fias une union de plusieurs intervalle donc j'utilise un indiçage ... comme quand on écrit une somme avec le symbole

Bonsoir,

On peut aussi procéder par la caractérisation des sous groupes additifs de .

Soient b est un entier > 1  et S(b)   l'ensemble des suites u :  *    {0 , 1 ,....,b - 1}  .
On montre que pour tout x de [0 , 1[ il existe  u dans S(b) telle que la suite n      converge vers x  .

Cela entraîne que D(b) = { p/b_k │ (p,k)    est dense dans [0 , 1[ .

Par ailleurs  pour tout x réel  il existe v : {0 , 1 ,....,b - 1}  nulle àpcr telle que     .
Et cela  entraîne que D(b) est dense dans .

Si b = 10 on parle d'approximation des réels par des décimaux .
Dans l'exercice  où b = 2 ,  on parle d'approximation des réels par des des dyadiques .

Merci beaucoup à tous pour vos réponses

de rien

Mais la preuve la plus simple  du fait que les  D(b)  sont  denses dans   est celle que propose Foxdevil  .
Chaque D(b)  est un sous-groupe  de ( , +)  qui ne peut être de la forme .a .

c'est simple si on connait ce résultat ...

il me semble que ce que je propose est autrement plus simple (idée de milton)

certes mais par définition le futur ... n'est pas encore arrivé !!