Bonjour,

Voici l'énoncé :

Soit A une partie non vide de Rn que l'on suppose ouverte et fermée. Le but de l'exercice est de montrer que, sous
ces conditions, A = Rn. Puisque A est non vide on fixe a appartient à A.

Soit b appartient à Rn. Pour t  supérieur ou égal à 0 on pose x_t := a + t(b -a) et I := {t appartenant à  [0, 1] : pour tout s appartenant à  [0, t], xs appartient à A}.

1. Montrer que I est un sous-intervalle de [0, 1] non vide.
2. Montrer que sup I appartient à I puis que sup I = 1 et conclure.

1. I appartient à [0, 1]  par définition.
De plus, 0 appartient à I puisque pour t=0, x₀ = a et a appartient à A.

2. Je montre que sup I appartient à I de la manière suivante :
♦ Si b appartient à A, sup I = 1 qui appartient à I puisque le segment [ab] est entièrement compris dans A.
♦ Si n'appartient pas à A, sup I = t₀ appartenant à [0, 1] et pour tout s appartenant à  [0, t₀], xs appartient à A. Donc t₀ appartient à I.

Dans ces deux cas sup I appartient à I.

Pour montrer que sup I = 1 :
On l'a déjà montré si b appartient à A.
Si b n'appartient pas à A, b appartient à Rn\A
mais je ne sais pas comment utiliser le fait que A soit ouvert et fermé.

Je vous remercie par avance pour vos réponses.

Excellente soirée.