Bonsoir, je peux te donner la démonstration mais il me semble pas que ca utilise sin(x)/x

ok je suis preneur !!!

Très bien alors sois patient car c'est en LaTeX et c'est pas mal de limites ^^

suis sage et discipliné... j'attends, merci pour ton aide

Je crois que tu n'as pas saisi la difficulté...
Ca je sais le faire !

Mais comment calculer cette limite de sin (h)/h sans passer par le taux d'accroissement ?????
Limite que tu utilises dans ta demonstration....
Comment demontrer qu'elle vaut 1 ????

Dans ce cas, je suis désolé, mauvaise compréhension de ma part.

Vois tu le probleme ? Je ne peux pas demontrer que sinus est derivable en 0 parce qu'elle est derivable en 0 !

Je ne peux pas demontrer A par B puis B par A... sinon on se mord la queue...

Oui c'est un cercle vicieux, mais je ne vois pas comment en sortir, qui plus ai avec mes connaissances actuelles (c'est quoi le taux d'accroissement ^^).

le taux d'accroissement c'est en fait [f(x+h)-f(x)]/h dont la limite, si elle est finie, est le nombre dérivé en x

pour démontrer la limite de sinx/x en O j'ai une démo que j'ai fait en premiere (cherchez pas a comprendre pourquoi en 1ere)

Dans un quart de cercle trigo, tu nommes O le centre, A le 0, M un point quelconque du quart de cercle,  son cosinus, T sa tangente, et x = AM (arc). (j'espère que c'est pas trop flou )
alors tu compare les aires des triangles OHM, OAT et du secteur angulaire OAM (curviligne)
tu sais que Aire de OHM = (cosx*sinx)/2
Aire de OAT = (tanx)/2
Aire de OAM = x/2
Donc Aire de OHM < Aire de OAM < Aire de OAT
On remplace par les valeurs, on transforme et tu trouve
cosx < x/sinx < tanx/sinx
Avec le théorème des gendarmes, si x tend vers 0, les deux de l'exterieur tendent vers 1 et donc x/sinx tend vers 1
conclusion : sinx/x tend vers 1 quand x tend vers 0

j'espère que je m'exprime pas trop mal parce que la ca devient précis comme démonstration

Bien vu caramelle, en effet c'est logique une fois qu'on voit ca

tu cherche a démontre que la derivé de sin(x) est cos (x)...

bien, mais il y a d'abord une question primordial : qu'est ce que sin(x) ?

si tu part de la definition Geometrique il y a surement moyen de montrer ceci (ce que semble avoir fait caramelle juste au dessu j'ai pas vraiment lu en detail dsl...)



mais il se trouve qu'on definit sin(x) comme etant la parti imaginaire de exp(ix) (l'exponentielle etant elle definit par sa seri de taylor il est simple de montré que la derivé de exp(ix) est i*exp(ix)) a partir de la on a sin(x)'=cos(x) et cos(x)'=-sin(x) assez facilement en identifiant parti reel et parti imaginaire dans l'egalité exp(ix)'=i exp(ix)

mais il a bien d'autre facon d'aborder le probleme : par exemple tu pourai definir sinus et cosinus par leur seri de taylor et obtenir assez simplement le meme resultat, ou encore mieux les definir comme des solution d'equation diferentielle (la le resultat serais imediat) etc etc...

quelque point sur la demonstration si sa t'interesse, je l'ai un peu vu en cour cette anné...


on pose exp(x)= somme de k=0 a l'infinit de x^k/k!

qu'on notera aussi e^x

on montre par une etude de cette seri (que je n'ai pas faite etant au programe de l'anné prochaine seulement) les proprite connu de e^x (derivabilité dommaine de definition, propriete de morphisme etc...)

on montre aussi que e^(ix) est un morphisme surjective de (R,+) sur (U,*) (u etant l'ensemble des complexes de module 1)

on pose cos(x) = Re(e^(ix)) et sin(x)=Im(e^(ix))

on a donc la formule |e^ix|=1=cos²x+sin²x qui apparait

on montre par la propriete de surjection et cette relation que cos(x) admet au moins un 0 non nul, et qu'il existe un plus petit 0 non nul a cette fonction, qu'on note "pi/2"

puis suite a qu'elle calcule on prouve que e^ix est 2pi periodique (donc sinus et cosinus le sont aussi) que 2pi est la plus petit periode de cette fonction, et enfin que e^ix est un morphisme bijectif de ([0,2pi[,+) sur (U,*) (en definissant la somme modulo 2pi ([0,2pi[,+) evidement)


quand au propriete geometrique de sinus et cosinus elle n'arrive que bien apres (deja faut definir la notion d'angle) et intervien quand on met en relation le plan affine euclidien avec C


et sa peut continuer longtemps comme sa...

merci beaucoup Caramelle, ta demo par les aires est tout a fait interessante et repond pleinement a ma question ! C'est niveau premiere en plus, cool !!!

Ksilver, merci pour tes precisions et je sens bien qu'on touche là à des définitions mathématiques plus globales... j'ai fait ca plus jeune... mais c'est tellement loin, je me remets aux maths tout doucement.

Encore une question : si je developpe sinus en serie entiere, est-ce que je ne retombe pas sur le meme probleme, parce que le developpement en série de Taylor ou en série entière repose sur les dérivées successives non ?
Mais j'ai bien pris note pour la demo avec e(ix) et sa dérivée, merci encore !

Presque la même démo que Caramelle, un peu plus simple: si T est l'intersection de OM avec la perpendiculaire en A à OA:
aire(triangleOAB)<aire (secteur OAB)<aire (triangle OAT) donc
sinx<x<tanx , comme tanx=sinx/cosx et 0<x<pi/2, sinx/x<1 et sinx/x>cosx donc
cosx<sinx/x<1