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Niveau terminale
Demontrer que si 7 | n-2 alors 7 | n^3-1
Posté par Garp
Bonsoir, comme dit dans le titre, je dois faire l'exercice suivant:
Soit n un entier relatif tel que n - 2 est divisible par 7.
Démontrer que n3 - 1 est également divisible par 7.
En essayant de factoriser n3 - 1, je ne trouve aucun facteur égal à n - (2 + 5k) où k 
Z. Je n'arrive donc pas à démontrer que 7 divise n3 - 1.
Si quelqu'un peut m'orienter pour que je puisse trouver la réponse par moi-meme ce serait sympa.
Merci d'avance👍🏼
* Modération > Citation inutile effacée. *
Bonsoir, si 7 | n - 2 alors:
(n-2)/7 = k où k appartient à Z
equivaut à n = 7k + 2 ?
* Modération > Message modéré.
Une autre méthode pourra être proposée quand les échanges entre philgr22 et le demandeur auront abouti. *
philgr22 @ 27-09-2021 à 19:46
Quel est le reste de la division par 7 de n3?
Quel est le reste de la division par 7 de n3?
Si on effectue une division euclidienne de n^3 = (7k-2)^3 par 7 alors on trouve
q = 49k3-42k2+12k-1 et r = (-1)
Aie la faute de frappe. Ducoup ça donne r = 1. Donc si on ajoute (-1) à n^3 alors le tout sera divisible par 7 donc 7 | n3-1.
Au niveau de la rédaction c'est ce que les professeurs attendent ou vaudrait-il mieux formuler autrement ?
salut
Garp @ 27-09-2021 à 21:22
Au niveau de la rédaction c'est ce que les professeurs attendent ou vaudrait-il mieux formuler autrement ?
si je peux me permettre puisque j'enseigne en math exp ...
Au niveau de la rédaction c'est ce que les professeurs attendent ou vaudrait-il mieux formuler autrement ?
Garp @ 27-09-2021 à 19:33
Bonsoir, si 7 | n - 2 alors: ne pas utiliser le symbole | mais le mot divise en toute lettres
(n-2)/7 = k où k appartient à Z ne pas écrire de quotient mais appliquer proprement la définition
equivaut à n = 7k + 2 ?
Bonsoir, si 7 | n - 2 alors: ne pas utiliser le symbole | mais le mot divise en toute lettres
(n-2)/7 = k où k appartient à Z ne pas écrire de quotient mais appliquer proprement la définition
equivaut à n = 7k + 2 ?
7 divise n - 2 donc par définition (de a divise b) il existe un entier relatif k tel que n - 2 = 7k
donc n = 7k - 2
pour la suite et indépendamment de la remarque de bernardo314 dans cet exercice aussi simple on calcule simplement n^3 puis n^3 - 1 et on l'exprime sous la forme 7 * ...
pour conclure en utilisant à nouveau la définition ....
Mon petit grain de sel aussi sur
Citation :
Si on effectue une division euclidienne de n^3 = (7k-2)^3 par 7 alors on trouve
q = 49k3-42k2+12k-1 et r = (-1)
Avec r = -1, ce n'est pas une division euclidienne...
Si on effectue une division euclidienne de n^3 = (7k-2)^3 par 7 alors on trouve
q = 49k3-42k2+12k-1 et r = (-1)
Et pourquoi 7k-2 alors qu'a été écrit auparavant n = 7k+2
Et carpediem a reproduit la coquille :
Citation :
il existe un entier relatif k tel que n - 2 = 7k
donc n = 7k - 2
il existe un entier relatif k tel que n - 2 = 7k
donc n = 7k - 2
Bonjour,
Une solution ayant été donnée je poursuis... :
L'élève avait commencé en factorisant "En essayant de factoriser n3 - 1" ....ce qui est assez naturel. Alors effectivement n3-1 se factorise mais on ne conclut pas.
Par contre faire apparaître une identité remarquable pour mettre en facteur n-2 est possible , n3-1 est multiple de 7 si et seulement si n3-1-7 = n3-8 l'est et là c'est fini.
je plussoie !!!
cependant j'aimerai une explication car je ne vois aucune différence entre n^3 - 1 et n^3 - 8 ...
Bien sûr philgr22 ..mais bon autant voir plusieurs méthodes.
Sinon on pouvait aussi faire de la division de n3-1 par n-2 :
n3-1= (n-2)(n2+2n +4) +7 ce qui revient au même
Merci carpediem, dorénavant j'arrangerai ma rédaction comme il faut pour ce type d'exercice.
Et merci à bernardo314, j'avais effectivement penser à ajouter un multiple de 7 à n-2 (mais ça ne changeait rien) mais je n'avais pas du tout eu l'idée de faire ceci avec n^3 - 1. Je pense que c'est plutôt cette technique assez simple qui me convient le mieux même si je pense qu'il est important de savoir maitriser différentes méthodes.