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Demontrer que une chose est un Intervalle
Bonjour,je dois résoudre un éco un peu dur que j'arrive pas a comprendre.J'ai fait les 3 premières questions mais les autres questions,j'y arrive pas
Exo
Soient A et B deux intervalles de R.
1)Montrer que A ∩ B est un intervalle.
2) Montrer que si A ∩ B est non vide, alors A ∪ B est un intervalle.
3) Montrer par un exemple que A ∪ B peut être un intervalle même si A ∩ B est
vide.
4) On note A + B = {a + b , a ∈ A, b ∈ B}. Montrer que A + B est un intervalle.
5) On note AB = {ab , a ∈ A , b ∈ B}. Montrer que AB est un intervalle.
Pour le 4) je sais juste que si A+B est un intervalle non vide alors Vx,y
A+B,[x,y] C A+B
Il faut se servir de l'équivalence de
J est un intervalle ssi (x , y , t)
et de
J² x [0 , 1] tx + (1 - t)y J .
***
Il faut se servir de l'équivalence de
J est un intervalle
et de
(x , y , t) J² x [0 , 1] , tx + (1 - t)y J .
Il faut se servir de l'équivalence de
J est un intervalle ssi (x , y , t)
et de
J² x [0 , 1] tx + (1 - t)y J .D'où vient J² x [0 , 1] tx + (1 - t)y ?
salut
on peut aussi utiliser la définition :
E est un intervalle si pour tout a et b dans E alors :
J'ai essayé d'utiliser cette définition lais je vois pas en quoi il peut m'aider a résoudre mon probleme
pourtant ça vient tout seul dès qu'on traduit :
1/ A est un intervalle donc ...
2/ B est un intervalle donc ...
soit donc a et b deux éléments de A 
B
alors d'après 1/ et 2/ ...
J'ai essaye de le faire mais je trouve ma démonstration un peu simpliste donc j'ai des doutes
A est un intervalle ssi V a,b appartient à A,[a,b] C A
Soit c appartient à [a,b],donc a<c<b,d'où c appartient à A
A est un intervalle ssi V a,b appartient à A,[a,b] C A
Soit c appartient à [a,b],donc a<c<d,d'où c appartient à A
Même chose pour B:b<c<e,c appartient a B
On a A+B ssi on a a+b<2c<d+e
donc A+B C
Réciproque
Soit c appartient à donc
Or A+B=a+b,aA,bB
Donc C A+B
Pour le 3) je l'ai teste avec un exemple avec des nombres,c'est facil
J'attend de savoir si ce que j'ai écris pour la 4) est bonne avant de faire la 5
bonjour princesyb,
Je ne comprends pas tes calculs avec tes demi-sommes , en plus tu choisis la même lettre c pour représenter un élément de A et un élément de B.
Il clair qu'il s'agit de démontrer que si A=[a,a'] et B=[b,b'] alors A+B= [a+b,a'+b']
Un sens élémentaire est: A+B inclus dans [a+b,a'+b'] travail sur les inégalités dont parle carpediem et
implique
Dans l'autre sens, l'adoption de la définition d'un intervalle donnée par etniopal conduit à la méthode la plus simple.
Pour démontrer que [a+b,a'+b'] est inclus dans A+B.
Soit [a+b,a'+b'] alors il existe t
[0,1] tel que z=t(a+b)+(1-t)(a'+b')
qui s'écrit (ta+(1-t)a') + (tb+(1-t)b') =x+y avec x et y respectivement dans A et B.
re-bonjour,
Pour démontrer que si A et B sont des intervalles fermés bornés alors AB est un intervalle, il faut je pense aborder le sujet sous un angle différent des précédents.
Quand x et y varient indépendamment l'un de l'autre dans les intervalles A et B, le couple(x,y) se déplacent continument dans un domaine R que l'on représente en plaçant A sur l'axe des abscisses et B sur l'axe des ordonnées.
On a donc f: AxB ---> R, (x,y) ---> M(x,y) ce domaine est compact, fermé, connexe et p: R--->xy est une fonction continue des deux variables x et y,
elle admet donc un maximum M et un minimum m.
ce qui définit un intervalle [m,M] et d'après le théorème des valeurs intermédiaires; pour toute valeur z entre m et M il existe (x,y) tel p((x,y))=z.
donc AB est l'intervalle [m,M]
il faudrait aussi examiner les cas où l'un des intervalles au moins n'est pas borné.
compléments
Si l'un au moins des intervalles est ouvert ou semi ouvert, on parlera de sup ou de inf selon les cas au lieu de min et max.
En fait si les intervalles ne sont pas bornés, ce qui compte c'est la connexité des domaines qui importe et les connexes de sont les intervalles.
Pour la somme A+B, on aurait pu traiter la question de la même manière g:(x,y)--->x+y est une application continue des deux variables x et y.
Les intervalles de 
sont les seules parties non vides J de qui vérifient " (x , y) J² , [Min(x , y) , Max(x , y)] 
J " ( on pourrait dire les seuls convexes de ) .
Pour le prouver on montre que si a := Inf(J) et b := Sup(J) ( Inf et sup dans ) on a :]a , b[ [
J [a , b] .
Si A et B sont des intervalles (non vides) de , pour montrer que A + B est aussi un intervalle il suffit donc de montrer que si (a , b) et (a' , b') sont dans A x B alors l'intervalle fermé d'extrémités c := a + a' et d := b + b' est contenu dans A + B .
Si c = d il n'y a rien à prouver .
Dans le cas où c < d , un élément x de [c , d] est de la forme c + t d où t := (x - c)/(d - c) [0 , 1] .
On a donc x = (a + tb) + (a ' + tb ') = A + B car (a + tb) A et (a ' + tb ') B .
Dans le cas où c > d ....
1. Si 0 
A 
B on montre facilement que AB est aussi un intervalle .
Par exemple : Si A et B sont des intervalles non vides contenus dans +* , AB est aussi un intervalle car ln(A) et ln(B) sont des intervalles (ln est continue strictement croissante) donc C := ln(A) + ln(B) est un intervalle de et comme C = ln(AB) et AB = exp(C) , AB est aussi un intervalle .
2.Si 0 A et si A ' := A \ {0} et B sont contenus dans +* alors AB = {0} A'B .
A'B est un intervalle et 0 est adhérent à A'B donc AB est encore un intervalle .
2.Reste à voir le cas où 0 A 
B en se servant ses questions antérieures . .
Si on dispose de la notion de "connexité" l'exo se fait rapido .
s : (x , y) 
x + y et et m : (x , y) x.y sont continues et si A et B sont des intervalles de , donc des connexes , A x B est connexe dans ² et s(A x B) , m(A x B) aussi .
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