Salut !


en gros ce qu'on te demande de montrer, c'est que l'ensemble des suite a valeur dans un ensemble dénombrable et a suport finit est dénombrable. (a support finit signifie que la suite est non nul seulement pour un nombre finit d'entier)



ce résultat ne te dit rien ? qu'est ce que tu connais comme ensemble dénombrable ?

Salut Ksilver,
oui, les suites rationnels nulles à partir d'un certain rang.

Non ça ne me dit pas grand chose.

Les ensembles dénombrables que je connais sont N, N*, Z, Q, ...  

et N^k quelque soit k ?

et une réunion dénombrable d'ensemble dénombrable ?

d accord je crois que j ai tilté

On a qui est dénombrable pour tout n, en tant que produit fini d'ensembles dénombrables.

Je montre ensuite que l'ensemble des suites nulles à partir du rang n+1 est équipotent à , donc dénombrable.

Donc l'ensemble des polynomes à coefficients rationnels est égal à   qui est dénombrable,
en tant qu'union d'ensembles dénombrables.

C'est bien cela?

bon, si tu sais déja que Q^k et N² sont dénombrable.

ca signifie que pour tous k, on a une bijection entre N et Q^k.

donc pour tous k, on a une bijection fk entre N et les polynomes de degré de inférieur ou égal a k.


et donc l'application de N² dans Q[X] qui a (n,k)->fk(n) est une surjection de N² sur Q[X], N² etant dénombrable, Q[X] est dénombrable.

ouai c'est ca.

"en tant qu'union d'ensembles dénombrables."

>>> le résultat précis est "en tant qu'union dénombrable d'ensemble dénombrable"

je le redémontre un peu dans mon post précedent.

oui pardon, c'était pas tres fin de ma part effectivement .
Bien merci pour ton aide ksilver, j'aurai peut etre quelques questions sur les dénombrables encore, mais pas tout de suite.

Salut, j'ai encore un problème de dénombrabilité.

Il faut que je montre que l'ensemble des nombres algébriques A est dénombrable.

Donc .

Soit . D'après le théorème d'Alembert-Gauss,
il existe un nombre fini de complexes z tel que P(z) = 0.

Si on note l'ensemble des racines de P, on a .

On a donc une union dénombrable d'ensembles au plus dénombrable.
Donc A est au plus dénombrable.
Par contre je ne vois pas du tout si A est équipotent à .

Bonjour lafol,
oui effectivement que je suis distrait
merci

ça arrive à tout le monde, ne rougis pas ....

juste une toute petite corection :

"D'après le théorème d'Alembert-Gauss,
il existe un nombre fini de complexes z tel que P(z) = 0."


le théorème de d'Alembert-Gauss dit que tous les polynomes sur C ont des racines.

le fait que les racines sont en nombres finit (et qu'il y en a au plus le degrée du polynome) est beaucoup plus élementaire, est vrai sur n'importe qu'elle anneau intégre (pas uniquement sur R ou C), et n'a absoluement rien a voir avec d'Alembert.

oups, oui effectivement.

Salut,

tiens d'ailleurs je me demandais est-ce vraiment de l'intégrité dont on a besoin,il existe des polynomes qui ont une infinité de racines dans l'anneau des quaternions qui est pourtant intègre(mais pas commutatif).

euh oui tu as raison, c'est vrai dans un anneau commutatif intégre.


mais l'intégrité est neccesaire, sinon les equation du premier degré peuvent avoir plusieurs solutions (voir une infinité).


comme exemple comutatif non intégre et infinit,on peut regarder les complexes fendu : le polynome (1+i)x=0 a une infinité de racines (tous les (a - ai) )

ou bien prendre un anneau comutatif de matrice (par exemple les matrices 2*2 de la forme [[a,b],[b,a]]... mais c'est exactement le meme exemple que les complexe fendu... )