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Dénombrabilité

Posté par
Shurkan 13-09-20 à 11:28

Bonjour,

Je dois démontrer qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables E est dénombrable mais il y a quelque chose qui m'échappe.

Etant donné la dénombrabilité de la réunion, je peux indexer les ensembles : E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}, et étant donné la dénombrabilité de chacun de ces ensembles, je peux indexer leurs éléments: Pour l'ensemble E_{1}: e_{1}^{(1)},  e_{1}^{(2)} ...  e_{1}^{(n)} de même pour E_{2} jusqu'à E_{n} =  e_{n}^{(1)},  e_{n}^{(2)}, ...,  e_{n}^{(n)}.

Je pose alors l'application:
\N x \N -> E
(i,j) -> e_{i}^{j}

Voici mon appréhension:
Comment puis-je me permettre d'appeler ça une application car rien ne me dit que tous les éléments de \N x \N admettent une image?

Ensuite:
Il s'agit d'une surjection et la seule propriété qui me semble être utile est: Soit E un ensemble infini. S'il existe une surjection de N - > E alors E est dénombrable; Or étant donné que NxN est dénombrable il admet une bijection f avec N, cette surjection serait alors facile à obtenir par composition.

Le problème c'est que rien ne me dit que E est infini.. Je suis donc assez perdu, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît

Merci beaucoup

Posté par
lionel52re : Dénombrabilité 13-09-20 à 11:52

Alors je te propose de changer un peu ton application :

Si E est non vide, soit e fixé dans E

f(i,j) = e_i^{(j)} si 1 \leq i \leq card(E_j)  (le cardinal de E_j peut être infini ici)
f(i,j) = e  sinon par défaut

Tu as bien une application de \mathbb{N} \times \mathbb{N} dans E
qui est surjective.



Citation :
Soit E un ensemble infini. S'il existe une surjection de N - > E alors E est dénombrable;


Pas besoin que E soit infini pour que ça marche.

Posté par
Shurkanre : Dénombrabilité 13-09-20 à 11:57

Ah ah ah, effectivement x)

Merci énormément à toi Lionel52


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