Bonsoir.

Notons B la base dénombrable en question, et soit B' une base quelconque.
On peut noter l'application telle que (B)=B' (qui est donc un isomorphisme).
Et puisque B est dénombrable, on peut écrire B=(e_i)_i.
Et donc B'=((e_i))_i.

Voilà. Ça me paraît un peu facile comme raisonnement alors j'ai peut-être fait une erreur. S'il y a une erreur, je pense que c'est dans l'existence de l'application , dont l'existence est au programme de spéciale en dimension finie, mais pas en dimension infinie.

Il me semble que pour un espace de dimension finie, cela découle directement de la définition: un espace qui admet une famille génératrice finie (il faut alors s'entendre sur la définition de dénombrable (en bijection avec N ?) pour savoir si un ensemble fini est dénombrable).

En revanche en dimension quelconque, je pense que l'application phi que tu poses utilise le résultat demandé. Démontrer cette existence revient en fait a démontrer la dénombrabilité de deuxième base. Qu'en penses-tu?

Bonsoir,



Un ensemble est dit dénombrable s'il est en bijection avec . (en anglais on parle de "countable set" pour désigner un ensemble dénombrable ou fini)

Il y a une partie "facile" dans la preuve: montrer qu'une famille finie n'est alors pas génératrice. (comme tu l'as dit c'est dans le cours car on en a besoin pour parler de [s]la[/s] dimension d'un espace vectoriel de dimension finie)

-Après, il y a la partie difficile, qui est de montrer qu'une famille indexée par un ensemble qui ne s'injecte pas dans est liée. (on conclut ensuite par contraposée)
On fixe donc une base dénombrable ,et on considère une famille où ne s'injecte pas dans .

Honnêtement le raisonnement me semble quasiment impossible à penser et mener si on n'a pas travaillé sur le caractère dénombrable de certains ensembles donc je te donne plusieurs pistes:
-Justifie l'existence de l'application qui à associe l'unique partie finie telle qu'il existe tels que .
-Essaie en utilisant des arguments de cardinalité de contredire l'hypothèse:
"Pour toute partie finie de , est fini"
(montre que cette hypothèse conduit à la dénombrabilité ou la finitude de )


Je ne te donne pas la piste finale pour te laisser réfléchir à l'utilité de contredire cette hypothèse, mais je comprendrais que tu préfère l'avoir plutôt que de travailler à l'aveuglette. Bonne chance et bonne nuit.

Bonsoir,
en général on dit qu'un ensemble est dénombrable quand il est en bijection avec une partie de .
En d'autres termes, soit il est fini, soit il est en bijection avec .

Pour la suite

Soient B=(eⁱ)_i une base dénombrable de E, qui existe par hypothèse.
Soit B' une base quelconque de E.

Je propose de construire une famille (fⁱ)_i de vecteurs de E définis de la manière suivante :
i,fⁱB'
i,j/eⁱvect(f₀,...,f_j).

Initialisation :
B' étant génératrice, e⁰ est une combinaison linéaire de vecteurs de F. Notons f⁰,...,f^j de tels vecteurs. Ainsi nous avons construits les (j+1) premiers termes (donc au moins 1 terme).

Hérédité.
Soit i. Supposons f⁰,...,fⁱ construits.
Soit X l'ensemble des entiers j tels que pour tout k inférieur à j : e^kvect(f⁰,...fⁱ).
X est nécessairement majoré car vect(f⁰,...,fⁱ) engendre un espace de dimension (i+1), par liberté des fⁱ (qui sont éléments de la base B'), or s'il existe un entier pi+1 appartenant à X, cela voudrait dire que vect(e⁰,...e^p) est inclus dans vect(f⁰,...f^p) et donc que ce dernier ensemble serait de dimension supérieure à p+1 donc supérieure à i+2 ce qui est impossible.
Ainsi X est majoré par i. Et X est non vide car e⁰X.
Il existe donc p=max(X), et pi.
Ainsi, puisque pi, alors l'ensemble des entiers compris entre p+1 et i+1 (au sens large) est non vide.
Ainsi, il a un sens de parler des entiers compris entre p+1 et i+1.
Pour tout entier j compris entre p+1 et i+1 (au sens large), alors e^j est combinaison linéaire des vecteurs de B'. Certains de ces vecteurs sont peut-être déjà dans la famille (f⁰,...,fⁱ), auquel cas on ne les prend pas compte. En revanche, on peut rajouter les vecteurs de B' présents dans la combinaison linéaire de e^j qui ne sont pas présents dans (f⁰,...,fⁱ), et répéter l'opération pour tout j compris entre p+1 et i+1, en prenant bien soin de ne pas ajouter deux fois le même vecteur pour assurer la liberté de la famille des (fⁱ).
De plus, on est assuré d'ajouter au moins 1 terme à chaque étape, car eⁱ⁺¹vect(f⁰,...,fⁱ).
On est donc certains de pouvoir passer à l'étape supérieure (on aurait en effet été coincés s'il existait une étape qui ne rajoute pas de vecteur).

Par récurrence, on a ainsi construit une famille (fⁱ)_i.
Cette famille est donc clairement une sous-famille de B'.
Montrons qu'elle est génératrice.
Soit i.
Par construction (cf ci-dessus), après i étapes, on est sûr qu'il existe j tel que eⁱvect(f⁰,...,f^j).
Par conséquent, e_i est combinaison linéaire des éléments de (f_i)_i.
(f_i)_i est donc génératrice.

Soit fB'. si f(f_i)_i, alors puisque (f_i)_i est génératrice, alors f est combinaison linéaire d'éléments de B' différents de f, ce qui contredit la liberté de B'. Donc f(f_i)_i.

Finalement, B'=(f_i)_i, et donc B' est dénombrable.

J'ai réfléchi a ce que vous m'avez dit.  Douzaine, je vois pas trop ou ça va mener.

Que pensez vous de la preuve suivante, est-elle juste?

B=(ei) i notre base dénombrable.

F=(fi) iI une base quelconque.

On pose Fi={fj | fj Vect(e1,  ... , ei)}

On a alors les Fi qui sont finis par liberté de F (Vect est des dimension finie).

Et on a comme B est génératrice, F Fi (pour i). On a à droite une réunion dénombrable d'ensemble finis donc un ensemble dénombrable.

Voilà, qu'en pensez vous?

Ma méthode est de toute façon trop compliquée, mieux vaut oublier.

Ce que tu proposes est tout à fait juste, bravo!

Je suis aussi d'accord. Démonstration simple et efficace.