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Dénombrement
Bonsoir je bloque sur un exo, je ne vois pas comment faire :
Soit f une application de R dans R telle qu'il existe a 
R avec f strictement croissante sur [- oo, a[ et strictement décroissante sur [a, +oo[.
1 - Montrer que f(Z) admet un maximum. On le notera m.
2 - Soit n Z. Montrer que :
(m = f(n)) 
[f(n)
f(n+l) et f(n)f(n-1)].
3 - Montrer qu'il y a au plus deux entiers n de Z tels que m=f(n). Donner un
exemple de fonction f pour laquelle il y en a deux.
4 - Exempte : Soit f : R 
R.
x f(x)=-3x2+5x
(2) + 1
Déterminer m dans ce cas.
Merci de votre aide
1- Il n'est pas vrai que sous ces hypothèses, f admet un maximum.
Contre-exemple : f définie par f(x)=-1/x si x<0 et f(x)=-x si x>=0.
aaahhhhh f(Z) c'est l'image par f de Z, qui désigne l'ensemble des entiers relatifs ? Excuse j'avais pas compris.
1) soit n1 le plus grand entier inférieur à a et n2 le plus petit entier supérieur ou égal à a ( n2=-E(-a) et n1=n2-1 ) soit Z1=Zinter ]-inf,a[ et Z2=Zinter[a,+inf[ alors f(n1) majore f(Z1) et f(n2) majore f(Z2) : il suffit de prendre pour m le plus grand des nombres f(n1) ou f(n2)
2) n= n1 ou n2 les deux inégalités découlent du fait que chaque valeur majore sur Z1 et Z2 et que l'on a pris le plus grand des deux
3) il y aura deux valeurs si f(n1)=f(n2)
exemple f(x)=1-x(x-1)
4) le maximum de f sur R est pour x=5rac(2)/6=1,18 donc n1=1, n2=2 et f(n1)=5rac(2)-2=5, 07 et f(n2)=10rac(2)-11=3,14 donc m=5rac(5)-2
Bonsoir;
1) donc
et vu que f est croissante sur I et décroissante sur J on a que
c'est à dire que
Sauf erreurs bien entendu 
Non, Elhor, il faut prendre -E(-a)-1 et -E(-a), ce qui donne la même chose sauf dans le cas où a est entier auquel cas, il faut prendre E(a)-1 et E(a)
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