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Dénombrement

Posté par
trainspotting
17-04-24 à 17:27

Bonjour,
Le dénombrement n'est clairement pas ma branche préféré des maths! Je ne pense pas avoir de problème pour la 1. Plus d'hésitations pour la 2. et je ne vois pas comment partir pour la 3.

Exercice
1. A partir d'une liste de 23 personnes contenant 10 femmes, on souhaite constituer des groupes de 9 personnes qui
seront les jurés lors d'un procès d'assise. Dans la suite on appellera jury chacun de ces groupes de 9 personnes.
a) Combien peut-on former de jurys différents ?
b) Combien peut-on former de jurys différents contenant deux femmes ?
c) Combien peut-on former de jurys différents contenant au moins huit femmes ?
2. Mme Anne et M. Bernard sont deux personnes figurant sur la liste initiale.
a) Combien peut-on former de jurys différents contenant à la fois Mme Anne et M. Bernard ?
b) Combien peut-on former de jurys différents ne contenant ni Mme Anne ni M. Bernard ?
c) Combien peut-on former de jurys différents contenant Mme Anne ou M. Bernard mais pas les deux à la fois ?

Voici mes recherches:

1)a) 23 nCr 9 = 817 190 jurys différents.
b) (10 nCr 2) * (13 nCr 7) = 77 220 jurys contenant deux femmes.
c) Jury avec 8 femmes: (10 nCr 8) * 13 = 585
Jury avec 9 femmes: 10
Soit 585 + 10 = 595 jurys contenant au moins 8 femmes.

2)a/ J'hésite entre faire: (21 nCr 7) = 116 280.
Vu que Mme A et M B font partie du jury je cherche la combinaison de 7 membres parmi 21 personnes. Mais en faisant cela j'ai l'impression de ne pas faire de distinction entre les hommes et les femmes.

ou bien à soustraire les jurys à 9 femmes ou 9 hommes du total.

Soit (23 nCr 9) - (13 nCr 9) - (10 nCr 9)   = 817 190 - 715 - 10 = 816 465.

b/ On élimine des 23 personnes Mme A et M B:
(21 nCr 9) = 293 930

c/ Jury contenant une seule des deux personnes: (22 nCr 8) = 319 770.
On multiplie par deux soit 639 540
On soustrait le nombre de jurys contenant Mme A et M B:
639 540 - 116 280 = 523 260

Dans ce cas ma 2e proposition pour le 2.a/ serait fausse.

Je ne vois pas comment partir pour la 3.
[img1]

Merci pour votre aide.

pdf
PDF - 92 Ko

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 17-04-24 à 17:34

Je réalise que la 2e option pour la question 2.a/ n'est certainement pas correct. Cela correspond plutôt à avoir au moins 1 homme et 1 femme dans le jury.

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 17-04-24 à 18:25

Bonsoir

Ta première solution pour 2)a) est la bonne. C'est tout à fait équivalent à construire des jurys de 7 personnes parmi 21.

Je ne suis pas d'accord pour 2)c). Remarque que tout jury vérifie obligatoirement une et une seule des propriétés suivantes :
- comporte Mme Anne et M. Bertrand
- ne comporte ni Mme Anne ni M. Bertrand
- comporte Mme Anne ou M. Bertrand mais pas les deux à la fois

Tu as déjà calculé les deux premiers en 2)a et 2)b

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 17-04-24 à 18:30

Remarque : tu aurais pu faire le 2)c) comme tu avais l'intention de le faire, mais tu t'y es mal pris

Nb de jurys comportant M. Bertrand mais pas Mme Anne : ...
Nb de jurys comportant Mme Anne mais pas M. Bertrand : ...

et on additionne

Avec ces deux méthodes différentes pour traiter la question 2)c, tu réponds aussi au 3) de ton exo.

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 17-04-24 à 18:33

En ce qui concerne la question bonus, tu peux te servir de l'égalité  \dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}=\dbinom{n}{k}

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 17-04-24 à 18:46

Merci beaucoup.

Pour la 2c je comprend qu'il suffit de soustraire les jurys comportant Mme Anne et M. Bernard et ceux qui ne comportent ni Mme Anne ni M. Bertrand donc:
817190 - 293 930 - 116 280.

Pour le 3, j'ai bien essayé d'utiliser la relation de pascal:

\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}

et

\dbinom{n-1}{p-1} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-2}

donc

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-2} + \dbinom{n-1}{p}

Or on veut un \dbinom{n-2}{p}

J'ai du mal à utiliser la question 2...

Autre chose on me demande de déduire une égalité puis de démontrer cette inégalité?

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 17-04-24 à 18:55

Je recommence suite au problème d'affichage.

Pour le 3, j'ai bien essayé d'utiliser la relation de pascal:

\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}

et

\dbinom{n-1}{p-1} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-2}

donc

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-2} + \dbinom{n-1}{p}

Or on veut un

\dbinom{n-2}{p}

J'ai du mal à utiliser la question 2...

Autre chose on me demande de déduire une égalité puis de démontrer cette inégalité?

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 17-04-24 à 18:59

nouveau post suite à une erreur

Pour le 3, j'ai bien essayé d'utiliser la relation de pascal:

\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}

et

\dbinom{n-1}{p-1} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-1}

donc

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}

Or on veut un

\dbinom{n-2}{p}

J'ai du mal à utiliser la question 2...

Autre chose on me demande de déduire une égalité puis de démontrer cette inégalité?

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 17-04-24 à 21:59

Oui, tu dois déduire une égalité en utilisant les deux méthodes de la question 2)c). Ca devrait te donner directement la formule du 3). Considère que n=23 et p=9.

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 17-04-24 à 23:33

Je pense avoir trouvé l'égalité:

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+2\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}

Pour le bonus on me demande de démontrer cette inégalité en utilisant les factorielles. Or c'est une égalité! Est-ce une erreur de l'énoncé d'après toi?

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 17-04-24 à 23:44

Nb de jurys comportant M. Bertrand mais pas Mme Anne :
\dbinom{21}{8} = 203 490

Nb de jurys comportant Mme Anne mais pas M. Bertrand :
\dbinom{21}{8} = 203 460

donc en additionnant :
2\dbinom{21}{8} = 2*203 460 = 406 980

On retrouve bien le même résultat avec l'autre méthode :
\dbinom{23}{9} - \dbinom{21}{9} - \dbinom{21}{7} = 817190-293930-116280 = 406980

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 18-04-24 à 03:29

L'inégalité est une erreur, l'énoncé parle lui-même d'égalité juste avant

Pour démontrer l'inégalité tu peux utiliser les factorielles mais à ta place j'utiliserais plutôt la relation de Pascal, c'est presque immédiat. Cette relation te dit que tout coefficient binomial vaut la somme de deux plus petits coefficients binomiaux. Ecris cette relation et applique-la de façon récursive à tes deux coefficient binomiaux ainsi obtenus

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 18-04-24 à 08:42

Merci beaucoup pour ton aide. Je trouve ça, il me manque le facteur 2:

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 18-04-24 à 08:45

ok c'est bon merci beaucoup!

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-1}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+2\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 18-04-24 à 08:48

enfin c'est plutôt ça

\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p} = \dbinom{n-2}{p-2}+2\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p}

Posté par
malou Webmaster
re : Dénombrement 18-04-24 à 17:23

Hello Zormuche
reçois-tu les notifications cette fois ?

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 18-04-24 à 20:50

malou Toujours pas

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 18-04-24 à 20:53

trainspotting Connais-tu le triangle de Pascal et son lien avec les coefficients binomiaux?

Posté par
malou Webmaster
re : Dénombrement 18-04-24 à 20:57

Zormuche @ 18-04-2024 à 20:50

malou Toujours pas

Non mais ...

Les autres en gmail qui ne recevaient pas reçoivent maintenant ! Tu as vérifié tes spams ?

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 18-04-24 à 21:29

Ah bah justement, je viens de recevoir une notification à 20:57 pour ton dernier message

Posté par
malou Webmaster
re : Dénombrement 18-04-24 à 21:30

ça va peut-être se régulariser

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 20-04-24 à 16:00

Hello Zormuche,

Oui je connais le triangle de pascal pour calculer simplement un coefficient binomial. Ma dernière réponse est bien la bonne?

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 20-04-24 à 16:10

Par contre avec les factorielles cela semble compliqué à démontrer.

Posté par
Zormuche
re : Dénombrement 20-04-24 à 16:11

Oui, c'est bien ça.
La relation de Pascal correspond simplement à l'addition qui génère le triangle de Pascal. Ici on fait la même chose mais en remontant 2 rangs au dessus
Ça permet de retrouver l'identité très rapidement et même de généraliser à k rangs au dessus

Posté par
trainspotting
re : Dénombrement 20-04-24 à 17:08

J'ai réussi à démontrer l'égalité en utilisant les factorielles.
Merci encore pour ton aide Zormuche.

Dénombrement



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