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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Posté par jbsph
Bonjour, je ne comprends pas l'exercice suivant:
Une urne contient cinq boules rouges numérotées 1, 1, 2, 4 et 4, quatre boules
bleues numérotées 1, 1, 2 et 4 et six boules vertes numérotées 1, 1, 1, 2, 2 et 4.
On tire deux boules dans l'urne.
a. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
b. Quelle est la probabilité de tirer deux boules portant le numéro 1 ?
Mon soucis porte d'abord sur comment déterminer le cardinal de l'univers de l'expérience. Si les boules étaient toutes différentes je répondrais . Mais ici il y a deux fois deux boules identiques parmi les rouges, deux identiques parmi les bleu, trois et deux identiques parmi les vertes. Je suppose qu'il faut retirer des cas au nombre obtenu si toutes les boules étaient différentes? Pouvez-vous m'expliquer quel est le raisonnement à suivre pour déterminer le cardial de cet univers ?
Bonjour,
D'abord, comprendre ce qui est demandé.
Pour la question a :
Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
Les numéros sur les boules n'ont aucune influence sur le résultat.
Le problème pourrait être réécrit ainsi:
a) On a 15 boules indiscernables dont 5 sont rouges.
On tire 2 boules, quelle est la probabilité qu'elles soient toutes deux rouge ?
*****
Pour la question b :
La couleur des boules n'a aucune influence sur le résultat et donc, le problème peut être réécrit ainsi :
b) On a 15 boules indiscernables dont 7 portent le n° 1.
On tire 2 boules, quelle est la probabilité qu'elles portent toutes deux le n° 1 ?
*****
A partir de ces questions modifiées, il n'y a plus aucun soucis pour déterminer le cardinal de ...
Remarque que les solutions peuvent aussi être trouvées sans passer par le cardinal de ...
C'est vrai les questions ne portent pas sur les numéro et sur les couleurs simultanément mais sur les couleurs puis sur les numéros.
Alors pour
a) Le cardinal de l'univers est , et le cardinal de l'évènement cherché est
.
b) Le raisonnement est similaire
Mais en fait je ne comprends plus pourquoi en s'intéressant à la couleur (par exemple) le cardinal de l'univers est une combinaison sachant que toutes les boules ne sont pas distinctes. Déjà je suis incapable de décrire l'univers de cette expérience ...
Ah oui comment?
oups je n'ai pas écrit correctement:
a) Le cardinal de l'univers est [tex]\binom{2}{15}[\tex], et le cardinal de l'évènement cherché est [tex]\binom{2}{5}}[\tex]. La proba de cet évènement est donc [tex]\frac{\binom{2}{5}}{\binom{2}{15}}[\tex].
Bonjour,
OK, donc la proba cherchée est P(a) = C(2,5)/C(2,15) = 10/105 = 2/21
Voila une autre manière de faire :
a) On a 15 boules indiscernables dont 5 sont rouges.
On tire 2 boules, quelle est la probabilité qu'elles soient toutes deux rouge ?
La proba de tirer une première boule et qu'elle soit rouge est 5/15
rouge.
A ce moment, il reste dans l'urne 14 boules dont 4 rouges ...
La proba de tirer une seconde boule et qu'elle soit rouge est donc 4/14
Et donc la proba cherchée est P(a) = 5/15 * 4/14 = 20/210 = 2/21
Bonjour,
Je ne fais que passer en coup de vent pour tenter de répondre à cette préoccupation :
Citation :
comment déterminer le cardinal de l'univers de l'expérience
comment déterminer le cardinal de l'univers de l'expérience
Citation :
pourquoi en s'intéressant à la couleur (par exemple) le cardinal de l'univers est une combinaison sachant que toutes les boules ne sont pas distinctes
Quand c'est possible, on choisit un univers avec lequel on aura équiprobabilité.
pourquoi en s'intéressant à la couleur (par exemple) le cardinal de l'univers est une combinaison sachant que toutes les boules ne sont pas distinctes
C'est à dire où les probabilités des événements élémentaires seront toutes égales.
Ce qui permet d'utiliser la formule "nombre de cas favorables / nombre de cas possibles ".
Par ailleurs, le fait de s'intéresser à la couleur n'empêche pas de choisir un univers ou un autre.
Ok, je crois qu'en utilisant les combinaison mon problème est lié à l'équiprobabilité (ou non).
a) Quand on utilise la formule des combinaisons on considère que toutes les boules sont distinctes (donc on peut utiliser les combinaisons car on a 'inventé' un univers équiprobable) ?
Et quand on fait 'directement' 5x4/15x14, on ne tient pas compte de l'ordre car ainsi les deux boules sont rouges donc identiques donc leur place n'importe pas ?