Bonsoir,

Sauf erreur, si ce que tu appelles « dernière somme » est bien juste la somme sur #X=l de ..., alors ton résultat est faux.

Le mieux dans cet exercice, c'est de commencer par regarder combien, si tu te donnes une partie A à k éléments, il y a de couples (X,Y) de sous-ensembles de E dont l'intersection est A.
Pour ce faire, il suffit de se dire que X et Y doivent nécessairement contenir les k éléments de A, puis ensuite, pour les n-k éléments, on a toujours 3 choix : soit l'élément appartient uniquement à X, soit uniquement à Y, soit à aucun des deux (le cas où il appartient aux deux étant impossible...).
D'où 3^(n-k) couples de la sorte.

Ensuite, il suffit de se dire que pour une partie A à k éléments, le cardinal de l'intersection sera celui de A donc k... il y a 3^(n-k) couples dont l'intersection des deux coordonnées fait A... et en tout il y a (k parmi n) choix possibles de la partie A.

D'où on obtient que la somme cherchée est égale à .
À calculer en s'aidant de formules sur les coefficients binomiaux et du binôme de Newton.

Désolé porcepic mais je n'es pas bien compris ta démo notamment ce passage
"les n-k éléments, on a toujours 3 choix : soit l'élément appartient uniquement à X, soit uniquement à Y, soit à aucun des deux (le cas où il appartient aux deux étant impossible...). "
pourquoi dans  ces n-k éléments restant  une partie ne peu pas appartenir à X et L'autre à Y ou...........

Bonjour
parce que ceux qui sont à la fois dans X et dans Y sont les k déjà choisis.

Bonjours
Désolé lafol  mais je pense que tu n'as pas vraiment compris ma question. je  veux pas ici rajouter des éléments commun à X et à Y. j'ai juste dire une partie à X et une autre à Y.
En fait moi je pensais à un raisonnement du genre (Pour déterminer les couples (X ,Y) de parties de E  donc l'intersection est A ). On sait que  pour un X choisi  à p élèments ( P [|k,n|]) il ne reste plus que 2^n-p choix possible pour le Y. j'aurais bien aimé détailler les calculs mais l'appli latex ne marche pas bien chez moi .  N'empêche que  sachant que l'on a en tout ,  combinaison de    p-k dans  n-k parties x à p éléments contenant le A ,  on retrouve le même résultat soit 3^n-k couples .

c'est exactement ce que disait porcepic, alors.

Ma foi , l'ambiguïté se trouais dépuis le début au niveau de  la langue lafol . En fait je n'avais pas compris porcepic  et toi tu  n'as pas compris que je ne l'avais pas compris du moins pourquoi je ne l'avais pas compris . Bref grâce à toi je l'ai pigé .  Heureux d'avoir échanger avec toi

Le calcul de S = _X,Y Card(XY) se simplifie si on remarque que S =  _X,Y Card(XY^c)  (Y^c désignant E\Y ) de  sorte que 2S =   _X,Y Card(X) = 2ⁿ_XCard(X)

Bonjours
Merci de revoir votre raisonnement car le résultat n'es pas cohérent avec celui de porcepic qui est juste à mon humble avis.

À mon humble avis, tu devrais réfléchir un peu mieux et montrer que les deux approches donnent bien le même résultat (la deuxième plus facilement).

J'offre une troisième approche, qui consiste à compter le nombre de triplets (X,Y,a) tels que X et Y sont des parties de E et a est dans l'intersection de X et Y.
Pour ça on commence par choisir x ( n choix possibles) puis on envoie les n-1 éléments restant dans {1,2,3,4} en envoyant sur 1 les autres éléments de l'intersection de X et Y, sur 2 ceux de X pas dans Y, sur 3 ceux de Y pas dans X et sur 4 les autres.
Tu pourras vérifier que ça donne toujours le même bon résultat, à savoir ...

n2^2(n-1).    je n'ai pas bien analysé sa réponse merci Recomic.  Pour ton post je le lis encore (Tout le monde n'es pas illuminé en mathématique comme vous et j'aimerais l'être moi aussi).

Une coquille dans mon message : lire a au lieu du petit x.

je l'avais remarqué et merci encore pour ce raisonnement.