Bonjour vicinet, c'est toujours ce problème entre arrangement et combinaison.

Ici, on te demande de dénombrer des parties d'un ensemble, il n'y a pas d'ordre entre les éléments. Par exemple : {a,b,c,d,e} = {e,b,c,a,d}.

Ce que tu fais, toi, c'est dénombrer les 5-uplets d'éléments de E qui commencent par a et b, ce n'est pas du tout la même chose. En particulier, tu comptes 3! trop d'éléments, à savoir les 3 derniers.
Avec ton raisonnement, piocher : a, b, c, d et g dans cet ordre ne donnerait pas la même partie obtenue en piochant a, b, d, g et c dans ce second ordre.

Est-ce clair ?

Je pense saisir qu'il y ait une différence, mais ce n'est pas encore acquis.

Si on avait voulu dénombrer les 5_uplets d'éléments de E avec l'élément a dedans sans b, on aurait fait le même raisonnement que moi, c'est-à-dire : 1 x 10 x 9 x 8 x 7, puis diviser par 4! le nombre d'éléments.

Je me rends compte que ça fait le même résultat, mais je ne visualise pas encore très bien pourquoi l'importance de diviser par 4!.

Le fait que j'ai choisi 10 x 9 x 8 x 7 fait qu'il y ait un ordre particulier, et pour casser cet ordre, je divise par le nombre d'éléments factoriels ?

Un 5-uplet de E est un élément du produit cartésien E x E x E x E x E, et une partie à 5 éléments de E est un élément de P(E), l'ensemble des parties de E.

Ton raisonnement n'est pas bon si tu veux dénombrer les 5-uplets de E qui contiennent a sans b. Quand on divise par 4!, on casse en effet l'ordre sur les 4 derniers éléments puisque cela correspond au nombre de permutations sur 4 éléments. Ici, si tu me parles bien de dénombrer des 5-uplets, il ne faut surtout pas casser l'ordre ! Je te rappelle que (a,c,d,e,f) n'est pas égal à (a,d,c,e,f) dans le produit cartésien de E cinq fois avec lui-même. En revanche, si tu considères l'ensemble (pas le 5-uplet) {a,c,d,e,f}, tu as bien égalité de ce dernier avec l'ensemble {a,d,c,e,f}.

En fait, avec ton raisonnement pour ton exercice, tu calcules le cardinal de :



Il te manque donc plein d'éléments si tu cherches tous les 5-uplets qui contiennent a et b ! Notamment les éléments de la forme (x,a,b,y,z). Ici, ce n'est pas important puisqu'on veut des parties de E, donc l'ordre importe peu au final. Ce qui se passe, c'est qu'avec ton raisonnement, la partie formée par les éléments du 5-uplet (a,b,c,d,e) est différent de la partie formée par les éléments du 5-uplet (a,b,d,c,e) etc..., ce qui est évidemment faux. Pour corriger ça, on brise l'ordre sur les trois derniers éléments en divisant par le nombre de permutations sur 3 éléments, c'est-à-dire 3! = 6.

Pour remettre les choses au clair : on se propose de dénombrer les sous-ensembles de E à cinq éléments qui contiennent a et b. Lorsque l'on s'est fixé a et b, il nous faut former un sous-ensemble de E à cinq éléments en tirant 3 éléments parmi les 10 restants dans E\{a,b}, soit le coefficient binomial 3 parmi 10.

Avec un exemple pas trop long, ce sera peut-être plus clair. On pose E = (a,b,c,d). On se propose de déterminer les sous-ensembles de E à 3 éléments qui contiennent a.

Avec ton raisonnement : nous avons 1x3x2=6 choix, et ceux-ci correspondent à (a,b,c), (a,b,d), (a,c,b), (a,c,d), (a,d,b), (a,d,c).

En réalité : on a {a,b,c}, {a,b,d} et {a,c,d}. On peut établir une correspondance entre ces ensembles et les 3-uplets ci-dessus :

(a,b,c) et (a,c,b) vont correspondre à {a,b,c}
(a,b,d) et (a,d,b) vont correspondre à {a,b,d}
(a,c,d) et (a,d,c) vont correspondre à {a,c,d}

On compte deux fois trop d'éléments puisqu'on instaure un ordre sur nos choix, pour le rétablir, on divise par le nombre de permutation à 2 éléments qui est 2! = 2.

Je te remercie sincèrement pour tes explications larges et détaillées, c'est beaucoup plus clair pour moi maintenant, merci infiniment !!

Au loto , si le tirage sort 34 puis 49 puis 23,
ou s'il sort 34 puis 23 puis 49,
au final, la combinaison gagnante est la même.

Il y a 50 options pour la première boule
  multiplié par 49 pour la 2ème
  multiplié par 48 pour la 3ème
Mais il faut diviser par 6 à la fin, pour enlever tous ces double-comptes.

Au tiercé, l'ordre d'arrivée à de l'importance.
Il y a 20 options pour le 1er cheval
  multiplié par 19 pour le 2ème
  multiplié par 18 pour le 3ème
Et on ne divise pas à la fin, parce que l'ordre compte.