Niveau doctorat

Dénombrement des points de coordonnées entières dans une boule

Posté par
KCJV 09-05-23 à 00:01

Bonjour tout le monde,

J'essaie de dénombrer les éléments de ^d contenus dans une boule fermée B_r := { x ^d : ||x|| r } centrée sur l'origine, où || . || désigne la norme euclidienne usuelle sur ^d. Notons donc X_r := ^d B_r .

Mon idée était d'utiliser des actions de groupe : par exemple, on pourrait considérer l'action du groupe $G = O(d, \mathbb Z) := \left\{ M \in \mathcal M (d, \mathbb Z) : {}^t M M = I_d \right\}$ . À partir de là on pourrait utiliser l'équation aux classes pour en déduire le cardinal de X_r.

Bien entendu les orbites sont contenues dans les sphères S_r := { x ^d : ||x|| = r } pour des valeurs de r qui sont susceptibles d'être atteintes (les théorèmes des deux carrés, des trois et des quatre carrés peuvent nous de décrire l'ensemble des tels r). Seulement voilà, il faudrait ensuite trouver un système de représentants des orbites, et pour ça je ne sais pas vraiment par où commencer...

Est-ce que quelqu'un aurait une idée ? Merci d'avance !

Posté par re : Dénombrement des points de coordonnées entières dans une bo 09-05-23 à 12:50

Petite reformulation, si ça peut aider. Par Fubini-Tonelli (fonctions positives et mesurables pour la mesure de comptage qui est sigma-finie car Z est dénombrable)

$\begin{array}{lcl} \\ f(d,r) &:=& \sum_{x_1\in\Z}\sum_{x_2\in\Z}\cdots\sum_{x_d\in\Z} 1_{x_1^2+x_2^2+\dots x_d^2\leqslant \lfloor r^2\rfloor}\\ \\ &=& \sum_{y\in\Z^{d-1}}1_{|y|\leqslant r}f(1, \sqrt{\lfloor r^2\rfloor - |y|^2}) \\ \end{array}$

En dimension 1 le problème est facile. f(1, s) vaut 1 si s < 1 et 2E(s)-1 sinon. Autrement dit, $f(1,s) - 1 = 21_{s\geqslant 1}\cdot(E(s)-1) = 2(\lfloor s\rfloor - 1)_+$

Ainsi $f(d,r) = f(d-1,r) + 2\sum_{y\in\Z^{d-1}}1_{|y|\leqslant r}(\lfloor\sqrt{\lfloor r^2\rfloor - |y|^2}\rfloor-1)_+$ .

Puis $f(d,r) - 1 - 2(\lfloor r\rfloor - 1)_+ = 2\sum_{k=2}^d\sum_{y\in\Z^{d-1}}1_{|y|\leqslant r}(\lfloor\sqrt{\lfloor r^2\rfloor - |y|^2}\rfloor-1)_+$ , où la norme |.| dépend implicitement de k

Ou encore, en notant $g : t\mapsto 2(\lfloor\sqrt{t}\rfloor-1)_+\cdot 1_{t>0}$ ,

$f(d,r) = 1 + g(r^2) + \sum_{y\in\Z^{d-1}}g(\lfloor r^2\rfloor - |y|^2)$

J'ai supprimé le $|y|\leqslant r$ pour avoir une jolie formule, mais ne t'y trompe pas, la somme est bien finie.
Tu peux aussi procéder par dichotomie et couper $x_1^2+\dots x_d^2$ en $(x_1^2+\dots x_m^2) + (x_{m+1}^2+\dots x_d^2)$ , de sorte que tu n'aies en fait à résoudre le problème que pour E(d/2), E(d/4), .... , 1.

----

Autre piste, mais de même difficulté : il est facile de résoudre le problème pour la norme infinie au lieu de la norme 2. C'est simplement une histoire de Bézout en dimension d et ça s'exprime en fonction du pgcd. Je crois que c'est fait explicitement dans le bouquin d'Apostol.
Ensuite, il s'agit de déduire le résultat pour la norme L^2 par soustraction par rapport à celui pour la norme L^\infty en saucisonnant une boule de rayon r entre deux pavés de longueur 2r. En dimension 2, on est en train de faire comme dans le grossier schéma ci-dessous.

On cherche (nombre à l'intérieur du carré bleu) + 4 * (nombre à l'intérieur du machin vert).
Le machin vert est l'épigraphe d'une fonction convexe (la fonction carré dilatée de (côté du carré rouge)-(côté du carré bleu)). Il est possible d'exprimer ce nombre en fonction de l'intégrale de cette fonction et du nombre dans un pavé de côtés (côté du carré bleu) et 2r-(côté du carré bleu). Encore faut il savoir trouver (côté du carré bleu).

Dénombrement des points de coordonnées entières dans une bo

Posté par re : Dénombrement des points de coordonnées entières dans une bo 09-05-23 à 12:57

Y'a quelques coquilles, comme un facteur 1/2 qui manque dans la deuxième piste, et aussi quelques omissions (tout est centré en 0, quelques difficultés liées au passage en dimension quelconque, le fait qu'il puisse y avoir des carrés parfaits sur la courbe représentative de la fonction carré dilatée et qu'il ne faut pas les compter en double, ...)

Mais niveau doctorat, tu es capable de les trouver je pense

Posté par re : Dénombrement des points de coordonnées entières dans une bo 09-05-23 à 16:00

Wouah, merci beaucoup Ulmiere pour cette réponse très détaillée !

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