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Niveau Maths sup
Dénombrement-Surjections
Posté par Laurierie
Bonsoir, je travaille sur un problème classique mais quelques questions me posent problème(3abc,5).
Voici l'énoncé:
E est un ensemble de cardinal n et F un ensemble de cardinal p avec n,p appartenant à N. On se propose d'étudier le nombre,que l'on notera s(n,p), de surjections de E dans F. On notera Sn,p l'ensemble de ces surjections.Donc s(n,p)=Card (Sn,p).
1.a. J'ai montré que s(n,1)=1 et s(n,n)=n!.
b. Notons F2={b1,b2}. J'ai montré qu'il y'avait deux application qui n'étaient pas surjective d'ou 2^n-2 applications surjectives.
2.Soit f une application de E dans F. Montrer que f peut être considéré comme une surjection de E sur un ensemble à préciser. On prend f surjection de E sur une partie de F, Fq tq Card Fq inférieur ou égal à n.
3.a.Fixons une partie F de cardinal q tq q
p. Exprimer à l'aide de la fonction s,de n et de q, le nombre de surjections de E sur cette partie.
b.Combien y'a t'il de surjections de E sur une partie de F de cardinal q?
c.Etablir =
4. J'ai montré que
=
ou a(k,q) est une expression qui dépend de k et q.
5. Démontrer la formule: .
.(-1)^k = s(n,p).
Voilà, les questions 3(a,b,c) et 5 me posent problèmes. Pourriez vous m'aider? Merci beaucoup,bonne soirée 
Bonsoir, j'ai trouvé toutes les réponses sauf la 3.b.
Pour la 3.a, j'ai montré que s(n,q)= q.s(n-1,q)+q.s(n-1,q-1).
Voila j'aurais besoin d'un petit coup de main pour 3.c. Merci beaucoup
Posté par Pierre Carré (invité)Dénombrement-surjections
Bonsoir Laurierie,
Je peux te donner les solutions de la question 3.
Cependant, je répugne à taper en TeX dans ce forum.
Envoie-moi ton adresse e-mail et je te ferai parvenir un fichier pdf avec ces solutions.
Au plaisir.
Merci encore Pierre Carré (désolé pour l'adresse E-mail). Je t'ai posé une petite question supplémentaire sur mon E-Mail. Merci beaucoup
Laurierie, ce n'est pas très grave : en fait c'est surtout pour éviter que tu te retrouves trop spammé (par des robots qui récupèrent les adresses mail) que nous prenons cette précaution.
dixit : Notons F2={b1,b2}. J'ai montré qu'il y'avait deux application qui n'étaient pas surjective d'ou 2^n-2 applications surjectives.
Comment faire pour démontrer cela? il faut introduire une application f de En dans F2 qui n'est pas surjective mais je ne situe pas comment il faut montrer que 
x 
En f(x)=b1 ou f(x)=b2
Merciiii