bonsoir,
J'ai un gros problème avec mon dm sur le dénombrement, j'espère que vous aller m'éclairer
la situation:
une sérrure de sécurité possède n boutons numérotés de 1 à n et n supérieur ou égal à 1
une n-combinaison consiste à pousser dans un certain ordre tous les boutons, chaque bouton n'est poussé qu'une seul fois mais il est possible de pousser simultanément plusieurs boutons.
la modélisation est effectuée de la manière suivante: pour une valeur donnée de l'entier n An={1,2....n}. Par définition, une n-combinaison est une liste ordonnée (P1,P2....,Pj) de j parties P1,P2,...Pj de l'ensemble An (1<=j<=n); ces parties Pj, 1<=i<=j, sont deux à deux disjointes, différentes de la partie vide et leur réunion est égale à An, on note an le nombre de n-combinaisons.
exemple, n=1 une seule 1-combinaisons a1=1
n=2 il y a trois 2-combinaisons a2=3 ({1},{2}), ({2},{1}), ({1,2})
D'abord y a des petites questions qui ne m'ont pas posés de problème, je les passe, passons à ce qui me pose problème:
Soit S une n-combinaison ( n est un entier naturel non nul fixé)
Combien y a t il de choix possibles pour la partie P1 lorqu'elle est de cardinal k?
là j'ai répondu "k parmi n" ( ou peut se lire B(n,k) )
ensuite ça se corse
Pour une partie Pi fixée de cardinal k avec k entre 1 et n compris , combien y a til de n-combinaisons S dot le premier terme est Pi ( ce résultat sera exprimé à l'aide des réels ap)
là je ne vois pas comment je dois exprimé tout les cas possibles, car les parties d'après doivent ranger les n-k élements restants, mais comment je dois différencier les parties ayant 1 éléments, celles 2 ,ect...
ensuite: exprimer an en fonction de a0 ,a1, ...a(n-1).
Retrouver les valeurs obtenues pour a2 et a3 ( on avait trouver a3 = 13 dans une question préliminaire, si je n'ai pas fait d'erreur) et calculer a4
On note bn= an/ n!. Justifier pour tout entier naturel non nul n: bn= somme de k=1 à n de b(n-k) sur k!
merci d'avance pour votre aide
et bonne soirée
Marie