Bonjour abirlolla

si x est dans A, essaie de construire une suite d'éléments de A qui converge vers x, en utilisant la fonction partie entière.

Kaiser

bonjour kaiser

je suis pas arrivée à determiner l'expression de (x_n)

Bonsoir abirlolla,


une petite piste:

soit x un élément de [0;1].

Considère l'écriture dyadique de x:




avec pour tout n:

.

Soit un réel strictement positif fixé.

Il existe un entier t tel que

.


Il ne te reste plus qu'à prouver que la somme des n premiers termes de ta série est un élément de A.


Tigweg

Gloups!
Salut Kaiser!

Désolé!

Salut Tigweg !
_{pas grave !}

salut tigweg

désolée mais je ne ne connais pas encore cette notion de séries

y a une piste plus simple pour sup?

Dans ce cas, suis le conseil de Kaiser!

j'arrive pas encore à  trouver le terme général de x_n

est ce que je vais prendre x_n=k/2^n?

et la partie entière aussi  comment l' introduire?

ça va être un truc du genre sauf que ton k va dépendre de x (et de n), et c'est justement k qui va être une partie entière.
Pour cela, si x est dans [0,1], construis moi un réel qui est inférieur à .

Kaiser

salut Kaiser et Tigweg

j'ai essayé avec cet exo.. mais j'ai pas su non plus (abirlolla c'est une amie )

on a essayé ensemble mais en vain.. :P

je vois que kaiser n'est plus connecté, donc si tu peux m'aider tigre?

Salut monrow!

Si tu connais les séries, mon premier mesage marche!

Sinon, x.2⁰=x est un nombre compris entre 0 et 2⁰,
donc sa partie entière k₀ aussi.

Ensuite, (x-k₀).2¹ est dans l'intevalle [0;2[ donc possède une partie entière k₁ comprise entre 0 et 1.

Puis, considère (x-k₀-k₁/2¹).2² et sa partie entière, et continue ainsi.

Les parties entières obtenues successivement sont celles de ma série, il ne reste plus qu'à introduire et à conclure comme dans mon premier message!


Tigweg

non pas encore les séries entières..., donc je pige vraiment rien ..

Pour cet exo, tu as juste besoin d'avoir à l'esprit que c'est une somme infinie de termes, qui sont tous positifs ici.

De plus tous les k_n valent 0 ou 1, donc pour tout n, si on commence la somme à partir du rang n, on a la majoration:

,

qui peut être rendu arbitrairement petit lorsque n devient grand.

Par suite, pour tout fixé, on peut bien trouver un rang n tel que la somme infinie commençant au rang n soit inférieure à .



Tigweg

ah oui là c'est plus clair

donc, on a montré jusque là que la somme est inférieur à un epsilon positif

donc la il faut prouver qu'lle converge à un élément de A

la définition de la imite peut être?

En fait si tu relis mon message de 18h44, tu auras la méthode.

Personnellement, je pensais à un truc, disons, de plus... expéditif : .
En effet, comme est dans [0,1], alors .
De plus, on vérifie assez facilement que cette suite converge vers x.

Cela dit, ça rejoint peut-être ce que dit Tigweg (qui aurait donc plus détaillé).

Kaiser