Salut!
Je  vois pas tout à fait ce que tu veux dire, mais je sais qu'une démonstration possible pour montrer la densité du groupe linéaire dans l'ensemble des matrices nxn consiste à exhiber ce dernier comme étant l'adhérence de GLn.
C'est à dire que toute matrice de Mn(R) est limite d'une suite d'éléments de GLn.
Soit M une matrice de déterminant nul.
Considère la suite de matrices Mp=M+1/p I.
Le déterminant est un polynôme de degré n, donc il existe un rang à partir duquel det(Mp) sera non-nul (existence d'une sous-suite de matrices inversibles)
or la suite Mp converge assez trivialement vers M.
Donc M est limite d'une suite de matrices inversibles.

Merci de la réponse et joli démo (juste pour la sous suite).
Par contre j'aimerais bien savoir si ma petite idée pourrait se justifier...

Bonjour,

Utilise le polynôme caractéristique :
Soit une matrice A de Mn(R) :
Soit elle est inversible, et elle est dans GLn(R)
Soit elle n'est pas inversible, donc son polynôme caractéristique P_A(x) = det(A+xI) possède 0 comme racine.
Perturbe alors légèrement A en A'(n) = A + (1/n)I, le polynôme caractéristique de A'(n) est P_A'(n)(x) = det(A+(x+1/n)I)
Sachant que les racines d'un polynôme sont en nombre fini et donc isolées, et que P_A(0) = 0, tu en déduis que pour n assez grand, P_A'(0) = P_A(1/n) est 0, donc que A'(n) est inversible
Tu as donc construit une suite de matrices A'(n), inversibles à partir d'un certain rang, et qui convergent vers A non inversible
GLn(R) est donc dense dans Mn(R)
Sauf erreur   

Grillé par Weensie

Bonjour le Hibou !
Merci de préciser, mais je crois que tu compliques.
Les racines du polynôme caractéristique de A sont au plus au nombre de n il parait donc clair
qu'il existe un voisinage de 0 sur lequel le polynôme n'est pas nul.

Enfin...en virant le 0.

Lol le Hibou!  Comment vas tu^^

Salut matovitch, je viens de trouver un site qui pourra t'intéresser.
Regarde la 2e démo:
http://pedestre.info/Math/Rappel%20th%E9or%E8mes/rappel_th%E9or%E8mes.pdf

Mercila première démo est à peu de chose près c'est la même chose (même si l'on a besoin de ).

Et la deuxième démo est exactement la même que la première sauf qu'au lien de se dégager une diagonale, on se dégage un sous espace S en faisant attention qu'il soit bien supplémentaire à l'image de phi.

--> Weensie, tout va bien, merci,  et toi ?

--> matovitch, ref ta réponse de 11h56, je ne résiste pas à te retourner cette citation :
      En mathématiques, "évident" est le mot le plus dangereux.
      [Eric Temple Bell]
      

le hibou >> Pour être plus précis :
Les racines du polynôme caractéristique de A sont algébrique donc le complémentaire de l'ensemble des racines
contient l'ensemble des nombres transcendant qui est dense dans ,
il est donc lui même dense (l'adhérence étant croissante pour l'inclusion).
Ainsi, il existe une suite convergeant vers 0 tel que la suite image par le polynôme caractéristique ne s' annule pas.

Tout cela pour dire que si tu as des barreaux à la fenêtre de ta chambre si tu es assez mince tu pourra quand même sortir. (par la fenêtre ) (sans scier les barreaux )
Cela me paraît beaucoup de formalisme pour pas grand chose...
Ne commençons pas un débat épistémologique mais je t'invite à regarder cette conférence très intéressante de Vladimir Arnold :

ps : Désolé des divers délires. Pour la vidéo, je ne partage pas toutes les vues de l'auteur,
je n'ai d'ailleurs pas le recul nécessaire pour juger mais la partie "mathématiques" et "anecdotes"
est très intéressante. (la redondance à du bon)

La densité de GL_n() dans M_n() peut aussi se voir en montrant que pour tout d * et tout P [X₁,....,X_d] \ {0} l'ensemble C_P = { x ^d | P(x) = 0 } est d'intérieur vide .

C'est vrai si d = 1 puisque dans ce cas C_P est fini .
Si on suppose que c'est vrai pour d * et si  P [X₁,....,X_d+1] est tel que C_P est d'intérieur non vide on peut trouver a ^d+1 et r > 0 tel que pour tout x de  ₁^d+1 [a_k-r , a_k+r] on ait P(x) = 0 .
Mais P = _n Q_n(X₁,....,X_d)X_d+1ⁿ  .
Soit donc (x₁,....,x_d) ₁^d [a_k-r , a_k+r].
Le polynôme _n Q_n(x₁,....,x_d)Xⁿ ayant une infinité de racines (tous les réels de [a_d+1 - r , a_d+1  + r] ), tous les Q_n(x₁,....,x_d) sont nuls.
Par hypothèse (de récurrence) tous les Q_n sont nuls et donc P = 0.
  


_n Q_n(x₁,....,x_d)Xⁿ ayant une infinité de racines tous les

J'aime beaucoup ! Merci kybjm !
Pour résumer la fin : le noyau du déterminant étant d'intérieur vide son complémentaire est dense.
Elle se rapproche de mon idée : le noyau étant une "hypersurface de niveau", cela parait
normal que l'intérieur soit vide (seul un volume contient quelque chose).