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densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba

Posté par
Bern 23-11-10 à 14:39

Bonjour, voila j'ai du mal a faire un exercie. Je me doute que ce n'est pas super dur mais je seche ...

Ennoncé : "

Soit (X,Y) un couple de v.a. qui prend ses valeur dans |R², a l'interieur du domaine délimité par les points :
(0,0); (0,2); (1,2) (1,1) (2,1) (2,0).
La loi du couple (X,Y) sur ce domaine est uniforme.

1. Quelle est la densité de (X,Y) ?
2.Trouver les densité des lois marginales de X et de Y
3.Trouver E(X), E(Y), var de X et Y et cov(X,Y)
4. Trouver le coeff. de correlation de X et Y
5 Trouver l'équation de régression linéaire de Y sur X  "

Je seche en fait sur la premiere question, je pense que le reste coulera de source...

Merci.

Posté par
verdurinre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 23-11-10 à 20:24

Bonsoir,
il est facile de voir que l'aire du domaine est égale à 3 (faire un dessin). La densité est donc 1/3 sur ce domaine et 0 ailleurs.

On peut déduire du dessin (ce n'est pas ce qui est demandé, mais connaître le résultat est agréable) que la densité marginale de X est 2/3 sur [0;1], 1/3 sur [1;2] 0 ailleurs.
Et il en est de même pour Y.
3$\text{E}(X)=\int_0^1{\frac23 x \text{d}x}+ \int_1^2{\frac13 x \text{d}x}=\frac56
sauf erreur de calcul de ma part.

Posté par
NoobMathdensité 23-11-10 à 22:10

Bonjour

Verdurin
est ce que vous pouvez plus détailler l'exercice svp??
Merci^^

Ps: Au fait Bern tu es etudiant en L2??lol

Posté par
verdurinre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 23-11-10 à 22:26

Bonsoir NoobMath,
je peux faire l'exercice, mais j'ai pas envie.

Posté par
NoobMathrep 23-11-10 à 22:31

Ah ok alors...

Ce n'est pas grave...

aurevoir

Posté par
Bernre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 23-11-10 à 23:37

Ok merci verdurin je m'y met...

Posté par
Bernre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 23-11-10 à 23:39

Pk t aussi a Paris 7 ?

Posté par
verdurinre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 23-11-10 à 23:51

Non, je suis prof.
pour le calcul de la covariance je te recommande, mais ce n'est pas la seule possibilité, de découper le domaine en trois carrés.

Posté par
Bernre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 24-11-10 à 12:14

Salut, J'ai donc :
(de toute facon il y a une symetrie, j'aurais donc systematiquement les meme résultat pour X et Y non ?)

1. f_{X,Y}(x,y)=1/3  sur le domaine délimité par les points.
et f_{X,Y}(x,y)=0    ailleurs.

2. Densité marginale :
X: Sur [0,1] on a 2/3, sur [1,2] on a 1/3, 0 ailleurs
Y pareil.

Ca j'ai compris.

3. E(X)=\int_0^{2} x*f_X(x,y) dx=\int_0^{1}x*2/3dx+\int_1^{2} x*1/3 dx =5/6 avec f_X(x,y) la densité marginale de X.   Right ?
exactement pareil pour Y.
   var(X)=E(X^2)-E^2(X)=\int_0^{2} x^2*f_X(x,y) dx-25/36=1-25/36=11/36
Pareil pour Y.
   cov(X,Y)=E(XY)-E(x)E(Y)
     avec E(XY)=\int_{X} \int_{Y} x*y*f(x,y)dxdy ?
      si c'est bien ça la valeur de E(XY) j'ai :
E(XY)=\int_0^{1} \int_0^{1} x*y*2/3dxdy+\int_1^{2} \int_1^{2} x*y*1/3dxdy=(2/3*1/2*1/2)+3/4=11/12
alors cov(X,Y)=11/12-5/6*5/6=2/9

4. corr(X,Y)=(cov(X,Y)/(\sqrt{var(X)var(Y)})=2/9*36/11=8/11

Posté par
Bernre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 24-11-10 à 12:24

5. Puis pour l'equation on Y=aX+b
avec a=(cov(X,Y)/var(X) et b = \overline{y}-a\overline{x} avec \overline{y} et \overline{x} les moyennes respectives des valeurs de y et x    
alors a=8/11 et b= 1-8/11*1=3/11 on a finalement l'équation Y=8/11X+3/11

C'est bien ça ??

Merci.

Posté par
NoobMathre : densité d'un couple (X,Y) a loi uniforme - Proba 25-11-10 à 22:40

Salut Bern!!

Tu peux m'expliquer s'il te plait la question 2 pour la densité marginal ??

Merci


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