Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Densité d'un ensemble dans GL_n

Posté par
mousse42 05-09-20 à 01:39

Bonsoir,

J'ai une question portant sur un autre exercice

Enoncé

1) Montrer que l'application f qui à toute matrice carrée inversible associe son inverse, est différentiable en I et que df(I)(H)=-H pour tout H
Indication : on pourra utiliser la relation I-(I+H)(I-H)=H^2

2) Montrer qu'en fait f est différentiable en tout point de l'ensemble des matrices carrées inversibles et déterminer sa différentielle.


J'avoue que j'ai eu du mal à partir sur cet exo, j'ai jeter un oeil sur le début de  la correction, et il est considéré dans le corrigé que I+H est inversible sans plus de précision.

Alors qu'en premier lieu, j'essayait d'établir que l'ensemble S=\Big\{H\in GL_n(\R), I+H\in GL_n(\R)\Big\} est dense dans GL_n(\R).

D'où ma question, ne faut-il pas établir que \bar S=GL_n(\R) avant d'aller plus loin. Si c'est le cas est-ce difficile? et pouvez-vous me donner une piste?

merci pour votre aide

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 02:03

bon, je viens de trouver

Si H est inversible, elle est trigonalisable et donc I+H est inversible.

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 02:12

je viens de dire une grosse bêtise, j'arrête pour ce soir, retour à ma question initiale

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 05:13

oubliez ma question,

Posté par
lionel52re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 05:54

Hello! Par continuité du determinant I+H est inversible pour H assez proche de I

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 11:51

merci lionel52, en fin de compte ma question n'est pas si bête.

Posté par
XZ19re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 12:05

En fait l'ensemble des inversibles est un ouvert.  

Ici  si ta norme est telle que ||I||=1  alors
I+H est inversible H  est dans la boule ouverte B(I,1)  
de plus  

(I+H)^{-1}= \sum _{n=0}^\infty (-1)^n H^n

Posté par
XZ19re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 12:06

modif: si  H\in B(I,1)  alors I+H est inversible  

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 12:16

ok, merci XZ19 tout ça se démontre avec quelle norme, celle que tu m'as proposé dans l'autre post?

Posté par
XZ19re : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 13:54

Les normes souvent utilisées sont des normes  matricielles  ||.||_2, ||.,
||.  ||_1 et ||  ||_\infty et vérifient ||A B|| \leq||A|| ||B||

Celle que tu as utilisée  || A||=max|a_{ij}|  convient aussi. On a ||I||=1.

(I+H) .(I-H+H^2+...+(-1)^pH^p) =I  +(-1)^p H^p

Si la norme est matricielle  et ||H||\leq 1  alors ||(-1)^p H^p||\leq ||H||^p  \rightarrow 0  (qd H  tend vers 0)

On peut doc passer à la limite et on obtient

(I+H) \sum_{p\in \N} (-1) ^p H^p =I

(avec ta norme il faudra prendre ||H|| plus petit mais ça marche aussi)

Ce qui montre que I+H est inversible et on a une formule pour l'inverse

De plus (I+H) =  I - H +\sum_{p\geq  2} (-1)^p H^ p = I -H  +o(||H||)
c'est une autre façon de retrouver ton exo.

Posté par
carpediemre : Densité d'un ensemble dans GL_n 05-09-20 à 13:56

salut

en dimension finie toutes les normes sont équivalentes donc on peut travailler avec n'importe laquelle

ce qui change c'est la représentation géométrique de la boule

avec la norme euclidienne une boule est ...une boule
avec la norme du max une boule est ... un cube !!!

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 06-09-20 à 00:46

merci XZ19 pour tes explications, je reviens dessus mardi.
Et merci caperdiem  je posais la question car j'imagine qu'on utilise celle adaptée à notre  problème (celle qui demande le moins d'effort). Pour l'équivalence des normes d'un EVN, je l'ai vu il n'y a pas si longtemps.

merci et à+

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 09-09-20 à 15:26

XZ19 @ 05-09-2020 à 13:54

Les normes souvent utilisées sont des normes  matricielles  ||.||_2, ||.,
||.  ||_1 et ||  ||_\infty et vérifient ||A B|| \leq||A|| ||B||

Celle que tu as utilisée  || A||=max|a_{ij}|  convient aussi. On a ||I||=1.

(I+H) .(I-H+H^2+...+(-1)^pH^p) =I  +(-1)^p H^p

Si la norme est matricielle  et ||H||\leq 1  alors ||(-1)^p H^p||\leq ||H||^p  \rightarrow 0  (qd H  tend vers 0)

On peut doc passer à la limite et on obtient

(I+H) \sum_{p\in \N} (-1) ^p H^p =I

(avec ta norme il faudra prendre ||H|| plus petit mais ça marche aussi)

Ce qui montre que I+H est inversible et on a une formule pour l'inverse

De plus (I+H) =  I - H +\sum_{p\geq  2} (-1)^p H^ p = I -H  +o(||H||)
c'est une autre façon de retrouver ton exo.



Ok, merci pour toutes ces informations, très bien intégré et tout redémontré.



Pour la densité de GL_n(\R), j'ai regardé sur le net, on utilise le polynôme caractéristique.

Voici la démonstration (l'idée n'est pas de moi, mais la démo l'est) :

Soit A\in M_n(\R), non inversible et \chi_A(X)=|A-XI_n|

Soit r >0, on considère la matrice M_r=M+rI_n

\chi_{A_r}(X)=|A+rI_n-XI_n|=|A-(X-r)I_n|=\chi_A(X-r)

Puisque \chi_A possède n racines, il existe \eta>0 tel que 0<|X|<\eta\implies \chi_A(X)\ne 0

En prenant r<\eta/2 , on a \chi_{A_r}(0)\ne 0\iff \det A_r\ne 0


Ce qui est compliqué dans ce cours, c'est qu'on utilise toutes les ressources de L1 L2.

Merci à tous

Posté par
XZ19re : Densité d'un ensemble dans GL_n 09-09-20 à 17:10

Oui  et tu peux faire la démo avec les  normes.  

$A+rI= r*(I+1/r  A)$   prenons  r>0.    

A+rI est inversible  ssi  (I+1/r  A) est inversible.  


Alors pour tout  r tq   r< ||A||  on a  ||1/r A||< ||I||=1.

(I+1/r  A) est donc inversible.    son onverse est donné par une série  (voir plus haut).  

  





  

Posté par
mousse42re : Densité d'un ensemble dans GL_n 09-09-20 à 17:13

merci

Posté par
carpediemre : Densité d'un ensemble dans GL_n 09-09-20 à 17:44

et je préfère une démonstration avec les matrices qu'avec les polynomes  : le principe est le même : prendre un voisinage convenable d'une matrice ou d'un réel ...

mais il est bon de travailler la "topologie" avec des objets plus formels ... pour tendre vers l'abstraction !!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !