Niveau Maths sup

densité dans R

Posté par
kolongo35 02-03-15 à 01:53

Svp aidez moi à resoudre ce DM j'arrive pas à démarrer. Voilà l'exo en question :
Montrer que l'l'ensemble E=(2^p.a^q, p,q elmts de Z^2) est dense dans R+.
Indications: montrer que F=(pln2+qln3,p,q elmts de Z^2) est dense dans R. Merci a vous.

Posté par re : densité dans R 02-03-15 à 08:17

Bonjour !
Quand le rapport $a/b$ est irrationnel l'ensemble $\mathbb Za+\math Zb$ est dense dans $\mathbb R$ mais c'est assez long...
Commencer par remarquer qu'on a un sous-groupe additif. Montrer que 0 est point d'accumulation : pour tout $u>0$ il y a un élément $x$ de l'ensemble tel que $0<x<u$ .
Enfin tout intervalle de longueur $u$ non nulle contient un élément de l'ensemble.

Si tu veux plus de détails...

Posté par re : densité dans R 02-03-15 à 15:21

Oui je veux plus de détails, stp aide moi je comprends pas bien. Merci de m'avoir répondu

Posté par re : densité dans R 02-03-15 à 18:22

Ben...euh! On suppose $a,b$ non nuls.

$G=\mathbb Za+\mathbb Zb$ est un groupe pour l'addition des réels ? Donc (à justifier) $G\cap\mathbb R_+^*\neq\emptyset$ . Soit $u=\inf(G\cap\mathbb R_+^*)$ .
On distingue 3 possibilités : 1) $u=0$ 2) $u>0;\,u\in G$ 3) $u>0;\,u\notin G$ .
Dans le cas 3) : il y a un élément $\alpha\in G$ tel que $u<\alpha<2u$ . Puis il existe $\beta\in G$ avec $u<\beta<\alpha$ (attention c'est à démontrer surtout l'inégalité stricte). Finalement $0<u<\beta<\alpha<2u$ , $0<\alpha-\beta<u$ et $\alpha-\beta\in G$ : contradiction.
Dans le cas 2) : Soit $p=E(a/u)$ ( $E$ partie entière) on a $a=pu+a'$ avec $0\leqslant a'<u$ . Puisque $(a,u)\in G^2$ on aura $a'\in G$ donc $a'=0$ et $a=pu$ .
De même $b=qu$ et $a/b=p/q\in\mathbb Q$
Reste le cas 1) : il est facile de voir que dans ce cas 0 est point d'accumulation de $G$ .
Quand tu auras digéré il y aura une suite.

Je ne m'éloigne pas de ton exercice car $\dfrac{\ln2}{\ln3}$ est irrationnel.

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