Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Densité de l'ensemble des matrices diagonalisables dans Mn(C)
Bonsoir, cette fois-ci j'aimerais montrer que l'ensemble des matrice diagonalisable est dense dans Mn(C). J'ai trouvé une démonstration(ci dessous) mais je ne vois pas pourquoi "pour p suffisamment grand les coefficients seraient 2 à 2 distincts".
Soit A ∈ Mn(C). La matrice A est trigonalisable donc il existe P inversible telle
que (P−1)AP = T avec T triangulaire supérieure. Posons alors
Tp = T + diag(1/p, 2/p, . . . , n/p) et Ap = P TpP−1. Il est immédiat que Tp → T
quand p → +∞ et donc Ap → A.
De plus, pour p assez grand, la matrice Tp est
triangulaire supérieure à coefficients diagonaux deux à deux distincts, cette
matrice admet donc n valeurs propres et est donc diagonalisable.
Il en est de
même pour Ap qui lui est semblable. Ainsi toute matrice de Mn(C) est limite
d'une suite de matrices diagonalisables.
salut
un peu de sérieux :: tu as n coefficients diagonaux
imagine que deux (au moins) de T soient égaux ... et regarde T_p ....
Salut,
Tu peux prendre deux coefficients de ta matrice T et distinguer deux cas bien choisis. Apres ca, ca marche tout seul!
bah ils seront disctints. mais le soucis par exemple c'est que on peut avoir 3 et 1 comme coefficients et par exmple pour p=1 on a 3+1/p =2+2/p
Démonstration alternative, qui demande moins de bricolage mais plus de matériel lourd.
Le discriminant du polynôme caractéristique est un polynôme en les coefficients de la matrice. Ce polynôme
s'annule si et seulement si la matrice a au moins une valeur propre double (propriété du discriminant). Puisqu'il existe des matrices à valeurs propres toutes distinctes,
n'est pas le polynôme nul. L'ensemble où
est différent de 0 est donc un ouvert dense de
(si un polynôme s'annule sur un ouvert non vide, il est le polynôme nul). Cet ouvert dense est contenu dans l'ensemble des matrices diagonalisables.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac