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Densité de probabilité
Posté par Scanner44444
Bonjour à tous,
je ne comprends pas bien pourquoi la PDF d'une variable aléatoire continue ne représente pas une probabilité mais plutôt une densité en ordonnée ?
Par exemple, si je prends une fonction continue normale, soit f(x)=x^2, on a bien la valeur en chaque point en ordonnée, est ce que ça vient du faire que l'on connaisse pas exactement les valeurs pour tous les nombres à décimales, du coup c'est comme si on devait zoomer pour voir réellement toutes les valeurs et donc on intègre pour avoir la somme sur les valeurs infinitésimales qu'on aimerait ?
Du coup pourquoi vouloir faire la somme ? Mis à part pour avoir la fonction de répartition je vois pas.. C'est du coup impossible d'avoir la probabilité en un point, c'est pour cela qu'on travaille par intervalle ?
Hello,
C'est une question de définition. Une v.a X est dite à densité s'il existe une fonction f positive et intégrable (ta pdf) telle que pour tous
Du coup avec cette définition f(x) n'est jamais une probabilité, et de plus si tu raisonnes physiquement
f(x)dx est une probabilité donc f(x) est une probabilité / unité de x. On appelle ça communément une densité
Mais du coup on peut l'assimiler à une fonction f(x) = x par exemple ?
Où on ferait l'intégrale pour avoir la somme de neige sur une certaine distance par exemple ? Mais dans ce cas la valeur de f(x) ce serait la quantité de neige en un point, soit x, c'est ça que je capte pas
En général quand on calcule l'intégrale d'une fonction, on fait la somme de contributions infinitésimales et donc je prenais l'exemple d'une fonction f(x)=x qui représenterait la quantité de neige en un point.
Si on veut connaître la quantité de neige totale sur 3m par exemple, bah on intègre de 0 à 3 la fonction mais en tout point la quantité f(x) représente bien la quantité de neige en tout point.
Du coup, je voulais savoir si ici c'est le même principe avec la densité de probabilité, ça a l'air d'être pareil sauf que tu dis que ici f(x) ne représente par une probabilité du coup ça diffère un peu et j'arrive pas bien à visualiser vraiment ce que ça représente..
Tu pourrais pas faire une analogie comme je viens de faire qui a un sens physique pour que je comprenne un peu mieux visuellement ?
Dans mon exemple, on aurait p(x) une charge répartie et donc p(x)dx la quantité de neige sur l'intervalle dx mais en un point x on est d'accord qu'il y a bien la quantité de neige p(x) ? Du coup j'essaie de faire le lien ici avec cet exemple mais j'ai du mal..
Bonjour,
Citation :
Si on veut connaître la quantité de neige totale sur 3m par exemple, bah on intègre de 0 à 3 la fonction mais en tout point la quantité f(x) représente bien la quantité de neige en tout point.
Si on veut connaître la quantité de neige totale sur 3m par exemple, bah on intègre de 0 à 3 la fonction mais en tout point la quantité f(x) représente bien la quantité de neige en tout point.
f(x) ne représente pas la quantité de neige au point x mais plutôt la hauteur de la neige à cet endroit. Et f(x)dx représente bien la quantité de neige qu'il y a sur l'intervalle infinitésimal [x,x+dx].
Finalement, f(x) est la hauteur, mais tu peux le voir comme densité linéique de masse. Entre a et b, tu as une masse égale à l'intégrale de a à b de f(x)dx. (je confonds un peu masse et quantité de matière, mais bon l'idée est là)
Dans le cadre des probas, tu as une aire totale sous la courbe qui vaut 1 (100%), et l'aire sous la courbe entre a et b représente la probabilité que la variable aléatoire soit comprise entre a et b. L'aire représente donc quelque part une quantité de probabilité, et quand tu réduis l'intervalle [a,b] à une forme infinitésimale [x,x+dx], tu obtiens la probabilité infinitésimale de se trouver entre x et x+dx, qui vaut f(x)dx. Ainsi f(x) est la densité de probabilité.
Ok merci William mais tu me dis que f(x) est plutôt la hauteur de neige à un endroit et du coup f(x)dx est la quantité de neige sur un intervalle, en m^2 je suppose ?
Mais si je suis ta réponse, pourquoi alors pour la densité de probabilité, f(x) ne serait pas la hauteur donc la proba en un point ? Je sais que c'est impossible sinon on dépasserait largement 1 si on fait la somme mais du coup si je regarde en un seul point, j'aurais quoi du coup au lieu d'une proba ?
Tu fais erreur dans l'analogie hauteur = proba.
La probabilité, c'est en quelque sorte la quantité de vraisemblance. La neige, c'est la vraisemblance. Plus il y a de neige, plus il y a de vraisemblance.
neige = vraisemblance
quantité de neige = proba
hauteur de neige = densité de proba
D'accord du coup dernière question : Est-ce que c'est correct de façon générale de considérer que le fait de faire une intégrale, c'est de vouloir faire une somme de valeurs infinitésimales.
Dans le cas de la neige, on fait la somme des produits entre des petits morceaux de longueur et leur hauteur, on fait ça car on ne peut pas être précis à l'oeil nu du coup l'intégrale nous permet d'avoir des quantités relativement constantes sur un dx et nous facilite la somme.
Pour les probas, on fonctionne de la même façon, c'est ça ?
Citation :
D'accord du coup dernière question : Est-ce que c'est correct de façon générale de considérer que le fait de faire une intégrale, c'est de vouloir faire une somme de valeurs infinitésimales.
D'accord du coup dernière question : Est-ce que c'est correct de façon générale de considérer que le fait de faire une intégrale, c'est de vouloir faire une somme de valeurs infinitésimales.
Oui. Pour une fonction continue f sur [a,b], on a
ce qui signifie bien que l'intégrale peut s'interpréter comme somme infinie sur une subdivision de [a,b] infiniment fine. D'ailleurs, le symbole intégrale est un S allongé qui signifie Somme.
Citation :
Dans le cas de la neige, on fait la somme des produits entre des petits morceaux de longueur et leur hauteur, on fait ça car on ne peut pas être précis à l'oeil nu du coup l'intégrale nous permet d'avoir des quantités relativement constantes sur un dx et nous facilite la somme.
Dans le cas de la neige, on fait la somme des produits entre des petits morceaux de longueur et leur hauteur, on fait ça car on ne peut pas être précis à l'oeil nu du coup l'intégrale nous permet d'avoir des quantités relativement constantes sur un dx et nous facilite la somme.
Si par oeil nu tu veux dire faire une somme finie oui. En pratique, pour calculer la quantité de neige tu pourrais te donner une subdivision finie de l'intervalle [0,3], et sur chaque subdivision tu fais l'approximation que la hauteur est constante, pour pouvoir calculer plus facilement la quantité, puis tu sommes. Bien sûr la somme qui en résulte est seulement une approximation, mais pour avoir une précision infinie il faudrait faire une somme infinie, ce que l'on ne sait pas faire avec l'outil classique de la somme, d'où la nécessité d'avoir recours à un outil adapté : l'intégrale.
Citation :
Pour les probas, on fonctionne de la même façon, c'est ça ?
Pour les probas, on fonctionne de la même façon, c'est ça ?
Je ne sais pas trop ce que tu entends par là. Pour les variables aléatoires à densité, le calcul d'une proba revient à un calcul d'intégrale, donc oui.