Niveau Master

Densité des fonctions C^{\infty} à support compact

Posté par
LeoZ 03-01-14 à 20:13

Bonsoir,

Cela fait plusieurs jours que je tourne en rond pour cet exercice :

On définit $H^1(\mathbb{R})$ comme l'espace vectoriel complexe des $u \in L^2(\mathbb{R})$ tels que l'application $t \mapsto \sqrt{t^2 + 1}u(t)$ soit dans $L²(\matbb{R})$ et qu'il existe une application $u' \in L^2(\mathbb{R})$ telle que : $\forall \phi \in C^{\infty}_0(\mathbb{R})$ , $<u',\phi>_2 = -<u,\phi'>_2$ .

On munit cet espace du produit scalaire défini par :
$<u,v>_{H^1} = <u',v'>_2 + <\sqrt{t^2 + 1}u, \sqrt{t^2+1}v>_2$

J'ai déjà montré que $H^1(\mathbb{R})$ est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, qui contient $C^{\infty}_0(\mathbb{R})$ . Je dois maintenant montrer la densité de ce dernier sous-espace dans $H^1(\mathbb{R})$ . Mais je n'y arrive pas.

J'ai d'abord essayé de montrer que l'orthogonal de mon sous-espace est nul, comme c'est l'usage, mais je n'arrive pas à aller plus loin que la définition. Quant à utiliser la densité de $C^{\infty}_0(\mathbb{R})$ dans $L^2(\mathbb{R})$ , je ne vois pas comment contrôler en même temps les deux termes de ma norme.

Une idée ?
Merci

Posté par re : Densité des fonctions C^{\infty} à support compact 03-01-14 à 21:53

Bonsoir,

Je ne comprends pas ta définition de $H^1(\mathbb{R})$ .

Soit on définit $H^1$ comme l'ensemble des $u \in L^2$ tels qu'il existe $u' \in L^2$ satisfaisant $\langle u', \phi \rangle = - \langle u, \phi' \rangle$ pour tout $\phi \in C^{\infty}_0$ .

Soit on définit $H^1$ comme l'ensemble des $u \in L^2$ tels que $\sqrt{1 + t^2} \hat{u}$ soit dans $L^2$ .

Mais on ne fait pas les deux à la fois, et on oublie pas non plus la transformée de Fourier. Les deux définitions sont équivalentes par l'égalité de Parseval.
Ton produit scalaire est aussi très bizarre : dans la première définition, on prend $\langle u, v \rangle_{H^1} = \langle u, v \rangle_{L^2} + \langle u', v' \rangle_{L^2}$ , et dans le second cas, on prend $\langle u, v \rangle_{H^1} = \langle \sqrt{1+t^2}u, \sqrt{1+t^2}v \rangle_{L^2}$ .

Est-ce que tu peux vérifier ta définition ?

Pour montrer la densité avec la première définition, on peut revenir à la preuve avec le produit de convolution, en remarquant que si $u \in H^1$ et $\rho \in C_c^{\infty}$ , alors $\rho \star u \in H^1$ et $(\rho \star u)' = \rho \star u'$ .

Avec la deuxième définition, on approche $\sqrt{1+t^2} \hat{u}$ qui est dans $L^2$ par une suite de fonctions tests $\phi_n$ . On a alors que $\psi_n = \frac{\phi_n}{\sqrt{1+t^2}}$ est dans $C_c^{\infty}$ , et donc dans l'espace de Schwartz.
En passant à la transformée de Fourier inverse, on construit une suite dans l'espace de Schwartz qui converge vers $u$ pour la norme $H^1$ .

Il reste à vérifier que toute fonction de l'espace de Schwartz peut être approchée par des fonctions $C^{\infty}_c$ dans la norme $H^1$ . Or un résultat en analyse de Fourier (prouvé par convolution là encore) dit que pour toute fonction $\phi \in \mathcal{S}$ , il existe une suite $\phi_n \in C_c^{\infty}$ telle que $t^k \phi_n^{(l)}$ converge uniformément vers $t^k \phi^{(l)}$ pour tout $k$ et $l$ , ce qui permet de conclure, car cette convergence entraine la convergence dans $H^1$ par Parseval. (plus quelques manips)

Posté par re : Densité des fonctions C^{\infty} à support compact 03-01-14 à 21:55

J'ai bien sur oublié la transformée de Fourier dans mon produit scalaire pour la deuxième définition, il s'agit de $\langle u, v \rangle_{H^1} = \langle \sqrt{1+t^2}\hat{u}, \sqrt{1+t^2}\hat{v} \rangle_{L^2}$

Posté par re : Densité des fonctions C^{\infty} à support compact 03-01-14 à 21:58

Bonsoir,

Merci pour cette réponse détaille. Cependant, je n'ai pas fait d'erreur avec la définition que j'ai donnée. Je sais que la notation est ambiguë parce qu'on peut croire qu'on parle d'un espace de Sobolev ou bien d'un espace de Hardy, mais l'énoncé me donne bien cette définition (et aurait mieux fait de nommer l'espace autrement que H^1).

Est-ce que la preuve par régularisation marche toujours ? Cela m'étonne qu'on nous demande de refaire tout ça, sachant qu'il ne s'agit que de la première question et que l'exercice est partie d'un ancien sujet d'examen.

Merci
Léo

Posté par re : Densité des fonctions C^{\infty} à support compact 03-01-14 à 22:30

Très surprenant.
Je pense que la méthode par convolution (avec les traditionnelles étapes de troncation puis de régularisation) vont marcher.

Comme ton espace $H^1$ est inclus dans l'espace de Sobolev traditionnel, on peut sans doute aussi utiliser le fait que pour tout $u$ dans $H^1$ , il existe $u_n$ une suite de fonctions tests qui converge vers $u$ pour la norme usuelle $W^{1,2}$ . Mais ça n'a pas l'air de mener bien loin pour contrôler le terme avec la racine ...

Posté par re : Densité des fonctions C^{\infty} à support compact 03-01-14 à 22:39

Ok, je vais essayer d'adapter la preuve
Merci, bonne soirée
Léo

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