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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Densite deux variables
Posté par AudreyPr
Bonjour
J'ai quelques questions sur cet exo de probabilites q à deux variables.
Soit la densité de la variable aléatoire (X,Y) à valeurs dans R.
1 ) Calculer la densité de X et de Y. Les variables sont-elles indépendantes ?
Ma réponse :
et
Les variables ne sont pas independantes.
Est-ce que c'est juste?
2) Soient (X1, Y1), … , (Xn, Yn) une suite de variables indépendantes de meme loi que X,Y.
Déterminer limite de et preciser le sens de la limite.
Je sais que la loi des grands nombres veut que cette somme tendent vers l'esperance de Y^2. Mais je ne comprends pas ce qu'il veulent dire par « sens de la limite »
3) Determiner la limite de
Et déterminer le sens de cette limite.
A nouveau j'imagine que cela tend vers l'espérance de e^(X+Y) mais je ne sait ni le calculait, ni ce que cela signifie.
Merci beaucoup pour votre aide.
Bonjour,
pour la question (1), le résultat est juste mais il manque de justifications. Comment sais-tu à partir des lois partielles et de la loi jointe qu'un couple de v.a (X,Y) est formé de deux variables aléatoires indépendantes ?
(2) Je suppose qu'il demande le mode de convergence peut-être... ? (presque-sûre, dans L^p ou en probabilités, là, j'ai besoin de l'avis de quelqu'un d'autre). En tout cas, si tu veux appliquer la loi (forte) des grands nombres, vérifie les hypothèses dans ta rédaction puis calcule E[Y²].
(3) Même chose, et le calcul de l'espérance de e^(X+Y) se fait par théorème de transfert.
Bonne journée.
Pour le fait que les variables ne soient pas indépendantes, si elles l'étaient, la densité sur(X,Y) serait égale à fX*fY n'est-ce-pas?
Je sais que pour la loi des grands nombres, il faut que les variables soient indépendantes et de même loi.
Je ne vois pas comment justifier cela pour exp(X+Y), cela me parait evident puisque on applique la même fonction a des variables indépendantes et de meme loi, mais cela ne fait pas très rigoureux.
De plus, j'ai le sentiment d'écrire la même “sens de la limite a chaque question” (Il y en a deux autres après du même type.**)
Un sens du style :” En realisant un grand de fois l'expérience, on obtient une moyenne des résultats qui tend vers *inserer l'espérance calculée”.
J'ai l'impression qu'autre chose est attendue sinon la question ne serait pas la même a chaque fois.
**la question suivant porte sur , celle d'après sur
Tu dois être sûr de ce que tu énonces, sinon tu peux te le redémontrer si tu n'es pas convaincue 
en l'occurrence oui, si X et Y sont deux variables aléatoires et (X,Y) a une densité, on a que X et Y sont indépendantes si et seulement si la loi jointe est égale au produit tensoriel des lois marginales (ici le produit classique puisque variable aléatoire réelle).
Si tu as d'autres questions dans ton sujet, il vaut mieux que tu les postes tout de suite et pas par petit morceaux, je crois que c'est contraire aux règles de l'île.
Sinon pour exp(X+Y), si tu as X et Y indépendantes et de même loi, alors f(X) et f(Y) sont indépendantes et de même loi (pour les bonnes tribus) pour toute fonction f mesurable. Pourquoi ? Regarde du côté des tribus 
(X) et (Y), et ce que ça signifie pour f(X) et f(Y) d'être des variables aléatoires en terme d'images réciproques de boréliens