Si j'ai bien compris, cela revient à montrer que les ensembles

et sont denses dans , c'est bien ça?

Salut romu

Je pense qu'il vaut mieux garder l'énoncé original. Une première idée: si ce n'est pas dense c'est discret, donc la suite prend un nombre fini de valeurs (le cercle unité étant compact). A coup d'accroissements finis, il me semble qu'on pourrait contredire ça (mais je ne l'ai pas vraiment fait)

Bonjour Camélia,

on entend quoi en fait par discret, d'intérieur vide?

Non, discret veut dire que pour chaque point il y a un voisinage qui ne contient que ce point. Z est discret dans R, mais Q ne l'est pas, bien que son intérieur soit vide.

ah oui d'accord, je vais tester avec les accroissements finis,

merci Camélia.

si on note .

Je ne vois pas pourquoi on a dans :

( non dense) ( discret)


Ce que je sais, c'est que

si n'est pas dense dans , alors il existe et un voisinage de dans tel que .

Salut,
Je ne crois pas non plus que ton ensemble est soit discret soit dense...il me semble qu'il pourait juste etre contenu dans le demi cercle inférieur...
Néanmoins la demarche de camélia est la bonne à l'aide des accroissements finis on s'en sort...pour simplifier les choses tu peux peut etre travailler dans le tore [0,2pi[

Tu as raison! J'ai dit une grosse bêtise! Il peut être non dense mais pas discret et pas fini. Il n'empêche que si on suppose qu'il y a un ouvert de Sⁿ qui ne contient aucun élément de la suite, je pense que les accroissements finis devraient pouvoir être contredits, mais je ne l'ai toujours pas écrit...

mais sur quel intervalle je dosi appliquer le théorème des accroissements finis, je ne visualise pas du tout le problème.

ah oui d'accord, il faut pas l'appliquer il faut le contredire. Bon je vais essayer de rédiger ça.

bon petit récapitulatif:

Si n'est pas dense dans , il existe alors tel qu'il existe un voisinage de dans tel que .

Donc il existe tel que ,

ie avec pour tout .

Bon après de manière intuitive, on a des aussi grand qu'on veut et qui se rapporchent de plus en plus à partir d'un certain rang étant donné les hypothèses,
donc ça doit obligatoirement passer au bout d'un moment dans cette boule, mais j'ai un peu de mal à formaliser ça et à faire intervenir le TAF.

bon j'avais oublié que f est croissante, ptete pour aç que j'étais autant dans le brouillard.

Bon je ne vois vraiment pas, le seul endroit où j'ai l'impression que ça aurait un sens d'utiliser le TAF c'est de dire que

où et comme ça on montre que l'écart entre et tend vers 0, mais je ne vois pas où est la contradiction.

Montre que pour epsilon donné il existe A assez grand tel que tout intervalle de longueur epsilon inclus dans [A,+oo[ contient un point de la forme f(n)

ok, bon

Soit . D'après ce que j'ai dit dans mon post de 19:21, il existe tel que

.

On pose .

Soit un intervalle de longueur tel que .

Du fait que et que on déduit de (1) qu'il existe tel que .

Bon je vais essayer de voir en quoi ça peut m'aider.

Pour la suite remarque aussi que pour trouver un f(n) tel qur exp(if(n)) soit proche d'un exp(it) à epsilon prés alors il suffit que l'on trouve un n tel que f(n) soit dans l'un des intervalles ]t+2npi-epsilon,t+2npi+epsilon[

ok, je pensais le dire ainsi:

Soit .

Par continuité de l'exponentielle complexe, on a pour tout voisinage de , il existe un voisinage de tel que .

On a par -périodicité de l'exponentielle complexe.

On peut ainsi choisir un voisinage convenable (ie contenant un intervalle respectant les conditions de mon post de 20:22 et donc contenant un ),

et par conséquent est dense dans .

Merci Rodrigo, encore une fois tu me retires une épine du pied.

Ca marche! Bonne soirée.