Bonjour chercheuse,

un DL de à l'ordre 2 en 0 donne, pour x non nul:



,

ce qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

conclusion:

f est dérivable en 0 et f'(0)=0.


Tigweg

BONJOUR
Pouvez vous le demontrer derivable en 0 sans utiliser le DL.
MERCI.

Bonjour,

As-tu essayé d'appliquer la méthode de la quantité conjuguée deux fois ?

Nicolas

Boonjour,
J'ai réfléchi a appliquer la methode de la quantité conjuguée, mais j'ai connu  pas par le conjugeé de quel terme il multiplier.
J'ai discuté cet exercice avec mon amie, et il me dit que
x(1+x)-(1-x) est derivable sur ]-1,1[
xx est derivable sur en particulier sur ]-1,1[
donc f(x) est derivable sur ]-1,1[, et par consequent f(x) est derivable en 0.
Mais je suis pas convaincu, puisque
x (1+x)-(1-x) est derivable sur ]-1,1[
x1/x est derivable sur en particulier sur ]-1,1[\{0}.
donc f(x) est derivable sur ]-1,1[\{0} (produit de deux fonctions derivable)
Quel est votre avis?

Merci beaucoup.

Ton amie se trompe. Il utilise le théorème de dérivation des quotients de fonctions, dont l'une des hypothèses est que la fonction au dénominateur ne doit pas s'annuler.

Ton raisonnement est juste.

Résolution niveau Terminale...


On applique la méthode de la quantité conjuguée à :

On applique la méthode de la quantité conjuguée à :


Sauf erreur.

Nicolas

Merci infiniment Nicolas_75.

Pour ma part, je t'en prie.

(f(h) - f(0))/h = (V(1+x) - V(1-x))/h² - 1/h

(f(h) - f(0))/h = (V(1+h) - V(1-h))(V(1+h) + V(1-h))/(h²(V(1+h) + V(1-h)) - 1/h
(f(h) - f(0))/h = (1+h -1+h)/(h²(V(1+h) + V(1-h)) - 1/h
(f(h) - f(0))/h = 2/(h.(V(1+h) + V(1-h))) - 1/h

(f(h) - f(0))/h = [2-(V(1+h) + V(1-h))]/ (h.(V(1+h) + V(1-h)))

(f(h) - f(0))/h = [2-(V(1+h) + V(1-h))][2+(V(1+h) + V(1-h))]/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h))  )]

(f(h) - f(0))/h = [4-(V(1+h) + V(1-h))²]/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))]

(f(h) - f(0))/h = [4-(1+h+1-h+2V(1-h²)]/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))]

(f(h) - f(0))/h = [4-(2+2V(1-h²)]/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))]

(f(h) - f(0))/h = 2(1-V(1-h²))/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))]

(f(h) - f(0))/h = 2(1-V(1-h²))(1+V(1-h²))/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))*(1+V(1-h²))]

(f(h) - f(0))/h = 2(1-1+h²)/ [(h.(V(1+h) + V(1-h)))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))*(1+V(1-h²))]

(f(h) - f(0))/h = 2h/ [(V(1+h) + V(1-h))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))*(1+V(1-h²))]

lim(h-> 0) [(f(h) - f(0))/h] = lim(h-> 0) 2h/ [(V(1+h) + V(1-h))*(2+(V(1+h) + V(1-h)))*(1+V(1-h²))]

lim(h-> 0) [(f(h) - f(0))/h] = lim(h-> 0) [2h/((1+1)*(2+1+1)*(1+1))]

lim(h-> 0) [(f(h) - f(0))/h] = 0  

Et donc ...
-----
Sauf distraction.  

Je pense qu'il faut aussi montrer que f(x) est continue en 0.

Non ?

C'est à dire que lim (x-> 0 )= (V(1+x)-V(1-x))/x] = 1

Salut J-P.
Si elle est dérivable, alors elle est continue, non ?

Nicolas, c'est comme la poule et l'oeuf.
Si la fonction est dérivable en 0, elle est continue, mais on ne peut pas faire le calcul lim(h-> 0) [(f(h) - f(0))/h] = 0 avant d'avoir démontré que f(x) était continue en 0.
  
Si par exemple on avait  f(x)={(1+x)-(1-x) }/x pour  x différent de 0 et f(0)=2 si  x=0, il ne serait pas question de commencer le calcul  lim(h-> 0) [(f(h) - f(0))/h]

Non ?

Bonjour,

Nicolas a raison, si une fonction f est bien définie en un point a et si



alors on a directement prouvé que f est dérivable en a (avec f'(a)=l), et par conséquent que f estcontinue en a.


Dans ton dernier exemple, si on posait f(0) = 5 par exemple (une valeur différente de 2), le taux de variation ne tendrait plus vers une limite finie.

On prouve donc ainsi deux choses en même temps.


Tigweg

Ah oui

Mais si on avait trouvé que f(x) n'était pas dérivable en 0, on ne saurait pas pourquoi.

Soit parce qu'elle n'est pas continue en 0, soit parcequ'elle y présente un point singulier (exemple f(x) = |x|).

Dans un cas général, se poser la question de la continuité de la fonction peut eviter de se lancer dans des calculs longs et parfois inutiles.

Mais soit, on ne demande ici que la dérivabilité en 0.
... et la chance veut qu'après un long calcul la dérivabilité en 0 est prouvée... Tant mieux.

Dommage que la question ne portait pas sur:
f(x)={(1+x)-(1-x) }/x pour x différent de 0 et f(0)=2 si x=0,

La conclusion aurait été correcte par la méthode de Nicolas ou celle de mon message 08/10/2007 à 16:54, soit pas dérivable en 0, dans ce cas.
Mais on y serait là arrivé en 2 lignes en vérifiant la continuite en 0.

Mais j'ai bien compris le message même si ...

Entièrement d'accord avec toi, si ça ne marche pas on n'en connaît pas la raisoon précise si on s'est contenté d'examiner un taux de variation!

D'ailleurs personnllement, je procède comme toi en commençant toujours par vérifier la continuité lorsqu'elle n'est pas triviale, ceci afin de "sentir" la fonction ...ce qui d'ailleurs laisse souvent présager si elle sera dérivable ou pas!

En revanche je ne comprends pas ton exemple final, ta fonction f est constante et égale à 2 pour tout x, donc continue et dérivable sur !
Mais peut-être voulais-tu écrire f(0)=1 (ou n'importe quoi différent de 2 justement!) ?


Tigweg

Salut Tigweg, oui, les racines carrées sont restées calées dans mon clavier, j'ai voulu écrire:

f(x)={V(1+x)-V(1-x) }/x pour x différent de 0 et f(0)=2 si x=0.

OK!

Oui effectivement c'est un bon exemple!
On voit tout de suite ainsi les élèves adeptes du marteau pilon pour écraser une mouche!


Tigweg

D'accord avec vous deux !