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Niveau Licence Maths 1e ann
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Dérivabilité

Posté par
spidrunmac14
25-11-23 à 21:52

Bonjour, j'ai besoin sur un exercice
Lim h->0 : \frac{\sin (\frac{pi}{2}+h)-1}{h} est le nombre dérivé d'une fonction f en un point x0.
Retrouver f et x0. En déduire la valeur de la limite proposée
Je vous remercie pour votre réponse

Posté par
phyelec78
re : Dérivabilité 25-11-23 à 22:19

Bonsoir,

remplacer par 1 par sin(pi/2)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 26-11-23 à 07:57

Bonjour,
Juste en passant, j'écris l'expression de manière plus lisible :

 \dfrac{\sin (\frac{pi}{2}+h)-1}{h}
Et je corrige une coquille :

Citation :
remplacer 1 par sin(pi/2)

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 26-11-23 à 11:58

Pardon j'ai oublié de mettre ce que j'avais trouvé, en effet en remplaçant 1 par sin(pi/2)' j'ai trouver que f(x) était sin(x) mais je ne sais pas comment trouver x0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 26-11-23 à 13:37

En attendant le retour de phyelec78,
L'énoncé parle de nombre dérivé en un point.
Quelle est la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point ?

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 26-11-23 à 16:15

De ce que j'ai compris, pour qu'une dérivé en un point a existe il faut la lim h->0 \frac{f(a+h)-f(a)}{h} soit une limite finie et donc f'(a) sera égale a ce résultat

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 26-11-23 à 16:56

Citation :
De ce que j'ai compris, pour qu'une dérivé en un point a existe il faut la lim h->0 \frac{f(a+h)-f(a)}{h} soit une limite finie, et donc le nombre dérivé de f en a sera égale a cette limite qui est un réel

Ce qui joue le rôle de a c'est le x0
Tu ne vois pas ce qu'on peut choisir pour \; a \; afin que \;  \dfrac{\sin (\frac{pi}{2}+h)-1}{h} \; soit \; \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \; ?
Tu as déjà trouvé \; f = sin \; et \; 1 = sin(/2) .

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 26-11-23 à 17:21

Ok donc xo =pi/2 mais je vois pas comment je peux trouver la limite, je pensais remplacer sin(pi/2+h) par cos(h) mais je vois pas comment continuer

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 26-11-23 à 17:48

Si \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} a une limite réelle L quand h tend vers 0, alors le nombre dérivé de f en a sera égal à L.
Réciproquement:
Si le nombre dérivé de f en a est égal à L alors le quotient \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} a une limite réelle quand h tend vers 0, et cette limite est égale à L.

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 26-11-23 à 18:43

Je comprend pas ta remarque

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 26-11-23 à 18:55

Tu cherches la limite du quotient \dfrac{\sin (\frac{\pi}{2}+h)-\sin (\frac{\pi}{2}) }{h} quand h tend vers 0.
La fonction sinus est dérivable sur , donc en \dfrac{\pi}{2}.
Par définition du nombre dérivé, la limite ci-dessus est le nombre dérivé en \dfrac{\pi}{2} de la fonction sinus.

Est-ce plus clair ainsi ?

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 10:45

J'ai bien compris mais le problème c'est que je ne sais pas comment simplifier cette limite

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 27-11-23 à 11:01

Quand l'exercice sera terminé, je donnerai une piste pour trouver la limite sans utiliser de nombre dérivé.

Mais là, l'énoncé impose de passer par un nombre dérivé.
Il faut donc utiliser ceci :

Citation :
Par définition du nombre dérivé, la limite ci-dessus est le nombre dérivé en \dfrac{\pi}{2} de la fonction sinus.

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 11:37

Mais on doit simplifier cette limite si on veux trouver le nombre dérivé en π ?

Dérivabilité

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 27-11-23 à 11:38

Quelle est la fonction dérivée de la fonction sinus ?

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 12:03

C'est cos mais je n'arrive pas a voir le rapport, est ce que je dois dérivé la fonction ?

Dérivabilité

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 27-11-23 à 12:09

Tu ne sais pas comment trouver un nombre dérivé à partir d'une fonction dérivée ?
Comment faisais-tu en première pour trouver le coefficient directeur d'une tangente à une courbe ?

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 12:27

Non je ne sais pas comment faire, je sais simplement dérivé des fonctions, et pour la tangente le coefficient directeur était a dans la fonction ax+b

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 27-11-23 à 12:32

Il va falloir revoir toutes ces notions.
Nous reviendrons après sur

Citation :
le coefficient directeur était a dans la fonction ax+b

Pour la situation de ton exercice :
f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
Le nombre dérivé de la fonction f en /2 est f'(/2), c'est à dire ...

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 12:38

f'(x) = cos(π/2) ce qui fait 0, c'est ça ?

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 12:42

Et on sait que la lim h->0 = f'(a) donc la limite est égale à 0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 27-11-23 à 13:29

Oui

Posté par
spidrunmac14
re : Dérivabilité 27-11-23 à 13:44

Super, merci beaucoup pour ton aide

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivabilité 27-11-23 à 18:59

De rien, mais essaye d'être plus au clair avec ceci :

Citation :
je sais simplement dériver des fonctions, et pour la tangente en un point d'abscisse a, le coefficient directeur était le nombre dérivé de la fonction f en a, c'est à dire f'(a).



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