Bonjour matix

Pour montrer la dérivabilité, il faut soit que tu étudies le taux d'accroissement et montres qu'il admet une limite finie, soit que tu montres que f admet un DL d'ordre 1.
Par contre, pourrais-tu la formule explicite de f ?

Kaiser

Voici la forme de f:



Mais la fonction g étant définie de "deux façons" différentes suivant la valeur que prend x, je ne vois pas très bien comment procéder .. Quant au taux d'accroissement ..
Pour le DL, je ne préfère pas l'utiliser, c'est un peu hs par rapport au cours .. mais par simple curiosité, ça me plairait bien que vous me montriez également comment faire exactement pour cette fonction ...

Merci beaucoup!

Ben en fait, après avoir réfléchi, je me dis qu'il vaut mieux utiliser le DL en posant x=1+h avec h non nul mais qui tend vers 0.

Sinon, pourquoi serait-ce hors-sujet de l'utiliser ?

Autre chose : tu sembles surpris quand je parles de taux d'accroissement. Pourquoi ?

A vrai dire, le taux d'accroissement, je ne me souviens plus comment on s'en sert .. Et quand au DL, je n'ai pas encore appris la propriété que tu sembles énoncer concernant la dérivabilité .. C'est pour ça que je tenais au taux d'accroissement, même si je suis curieux de voir pour le DL .. Mais n'y-a-t-il pas une autre méthode aussi en considérant des limites...?

La méthode du taux d'accroissement consiste à étudier la limite de lorsque x tend vers 1.

Sinon, concernant la propriété du DL d'ordre 1, ça m'étonne que tu ne l'ai pas vu mais voici la démonstration :

On suppose que g admet un DL d'ordre 1 en 1.
Alors il existe a et b 2 réels tels que .
(supposons que l'on sache déjà que g est continue en 1 et que l'on a posé g(1)=a)
Alors on a pour x différent de 1 et tendant vers 1, et donc la limite du taux d'accroissement est finie et donc g est dérivable en 1.

Réciproquement, si ce taux d'accroissement tend vers une limite finie, on s'aperçoit que l'on peut faire le raisonnement inverse et que f admet un DL d'ordre 1 en 1.

Kaiser

ok! Mais pour le TAF, que dois-je prendre pour g(x)? Quelle expression?
Merci!

De plus, quand on me demande d'étudier la dérivabilité, cela doit amener à la dérivabilité sur un intervalle non? Si oui, comment le trouver à partir de là? Que de questions .. ^^

Pour info, la question exacte posée est:

Etudier la dérivabilité de . Calculer .

Bonsoir matix

Pour ta première question : pour la limite du taux d'accroissement, on considère que x s'approche infiniment de 1 sans jamais l'atteindre et donc on prend .

Pour ta deuxième question : la dérivabilité est évidente lorsque x est différent de 0 et de 1.
En 0, g n'est pas définie et il reste donc à étudier la dérivabilité en 1.

Pour ta dernière question : Tu est donc obligé de te coltiner le calcul de la limite du taux d'accroissement ce qui revient à faire un DL d'ordre 1. Grâce à celui-ci, tu pourras identifier le nombre dérivé en 1.

Kaiser

ok Kaiser! Je vais voir ça! Merci!