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Dérivabilité de fonctions à 2 variables.

Posté par
Kuarcha 17-12-06 à 19:27

Bonsoir,

Ma question porte sur la dérivée seconde d'une fonction à 2 variables, pour dériver, je calcule les dérivées partielles: 5$ \frac{df(x;y)}{dx} et 5$ \frac{df(x;y)}{dy}, pour la dérivée seconde, je calcule:
5$ \frac{d^2f(x;y)}{d^2x}=\frac{d(\frac{df(x;y)}{dx})}{dx} et 5$ \frac{d^2f(x;y)}{d^2y}=\frac{d(\frac{df(x;y)}{dy})}{dy}, on m'a dis qu'il existait aussi une 3eme partie pour la dérivée seconde de la forme:
5$ \frac{df(x;y)}{dx.dy}
je voulais vous demander la signifcation de ceci, et si:
5$ \frac{df(x;y)}{dx.dy}=\frac{df(x;y)}{dy.dx}
Merci beaucoup

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:30

Slt!
Pour commencer il s'agit de dérivées partielles  et non pas de dérivées planes.

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:31

heureusement que j'ai marqué dérivées partielles alors

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:36

Bref.Le coté gauche signifie que tu dérives d'abord par rapport à y puis par rapport à x et à droite cela veut dire que tu dérives d'abord par rapport à x puis par rapport à y.Ce que tu as écrit n'est autre que le l'égalité du Schwarz qui ,en gros, veut dire que tu peux dériver une fonction de plusieurs variables par rapport à ses différentes variables sans te soucier de l'ordre dans lequel tu le fais(attention,il faut certaines conditions sur f)

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:37

en effet,pardonne moi je ne l'avais pas vu

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:40

Pardonné sans problème
peux-tu me dire quelles sont les conditions sur f?

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:41

mais on utilise plutot les plutot que les d pour les fonctions à plusieurs varibles,c pour ça que j'avais pas tilté!!

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:42

bouge pas je vais te dire ça

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:42

ah oui pardon, c'est à moi de m'excuser la

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:45

Théorème de Scwarz:
Si f est de classe C^k par rapport à chacune de ses varibles alors le calcul des dérivées partielles peut se faire dans n'importe quel ordre.
(j'avais un trou de mémoire!!)

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:45

c'est Schwarz et pas Scwarz

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:46

et je suppose que on peut dériver k fois?

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:46

enfin qu'on peut faire dans n'importe quel ordre k fois?

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:47

C'est à dire que ce que tu m'as dit là est le th précédent pour le cas particulier k=2

Posté par
jardilandDérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:49

citation:"et je suppose que on peut dériver k fois?"
La classe C^k est plus que de la dérivabilité k fois,cela implique aussi la continuité de chaque dérivée

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:49

ok merci, et par rapport aux deux autres dérivées partielles, à quoi sert \frac{df}{dx.dy} (on met un carré au d du numérateur?)

Posté par
jardilandet je suppose que on peut dériver k fois? 17-12-06 à 19:51

Non,tu mets un carré au du numérateur mais pas au dénominateur!!

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:52

ok, donc à quoi sert 5$ \frac{d^2f}{dx.dy} par rapport aux autres?

Posté par
jardilandre : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:52

les d du dénominateur soulignent par rapport à quoi tu dérives et dans qul ordre

Posté par
jardilandre : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:55

tu veux dire par rapport à \frac{d^{2}f(x,y)}{d^{2}x} et \frac{d^{2}f(x,y)}{d^{2}y}? j'ai pas mit des pr aller plus vite

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:56

oui, par rapport à celle la. (effectivement, heureusement que tu as mis des d)

Posté par
jardilandre : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:57

A rien,c'est une autre dérivée seconde qui n'a aucun rapport avec les autres

Posté par
Kuarchare : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:57

ok merci, bonsoir

Posté par
jardilandre : Dérivabilité de fonctions à 2 variables. 17-12-06 à 19:58

tchao


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