Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Derivabilité en 0 d’une fonction paire
Bonjour tout le monde,
Je résolvais un problème dans lequel nous disposons d'une fonction f dérivable en 0 et dérivable sur tout IR de façon générale
De plus on montre que f est paire
On nous demande ce que vaut nécessaire le nombre dérivé de f en 0.
Mon raisonnement était que par parité de f , f admet obligatoirement un extrema local en 0 et que par conséquent sa dérivée s'annule.
Sauf que pour cela il faudrait que f soit monotone sur un certain voisinage à gauche (ou à droite) de 0 et je n'arrive pas à me le justifier
A t'on un argument qui permettrait de le déduire immédiatement ?
Peut on d'ailleurs dire que toute fonction dérivable sur R et paire admet nécessairement un extrema local en 0 ?
Bonjour,
Sur le principe ton argument à l'air correct. Toutefois je soupçonne que certaines fonctions pathologiques mettent à mal le fait d'être monotone sur un certain voisinage à gauche ou à droite.
Ainsi je peux te proposer deux arguments différents pour résoudre ton problème.
1) Tu peux directement partir de la définition de f'(0) en tant que limite de taux d'accroissement et d'effectuer le changement de variable y=-x.
2) Si tu souhaites conserver un argument de monotonie alors tu peux supposer par l'absurde que f'(0)>0 (quitte à considérer -f), démontrer que cela implique la monotonie de f sur un certain intervalle et vérifier que la parité de la fonction ne le permet pas.
Enfin, pour ta dernière question tu peux essayer de voir ce qu'il se passe pour la fonction g : x |-> x^3 sin(1/x).
Bonjour,
A propos de la fonction g de la fin du message de Sugaku, il me semble qu'il faudrait ajouter g(0).
Et cette fonction n'admet-elle pas un minimum local en 0 ?
salut
soit f est dérivable
si f est paire alors pour tout réel x : f(-x) = f(x)
il suffit de dériver et de prendre x = 0 ...
J'ai calculé le taux d'accroissement
[ f(0+h) - f(0 ] / h quand h tend vers 0 par la gauche puis par la droite
Les taux d'accroissements respectifs sont sensés être égaux mais leur expression est opposée
On aboutit à f'(0) = - f'(0) d'où f'(0) =0
Je réponds en l'absence de Sugaku.
Les taux d'accroissements respectifs sont sensés être égaux mais leur expression est opposée
Idem pour "J'ai calculé" : on ne sait pas ce que tu as calculé.
Ceci dit, ça peut se faire avec cette démarche.
Mais la piste de carpediem me semble plus simple.
[ f(0+h) - f(0 ] / h > A quand h -> 0 à gauche
[ f(0+h) - f(0 ] / h -> -A quand h-> 0 à droite
Puisque f'(0) existe , on a l'égalité entre -A et A, soit A = 0
Bonjour,
A propos de la fonction g de la fin du message de Sugaku, il me semble qu'il faudrait ajouter g(0).
Et cette fonction n'admet-elle pas un minimum local en 0 ?
Il faut effectivement ajouter
La fonction g n'admet pas de minimum local en 0 pour la raison suivante.
Etant donné un entier naturel
oui l'exemple pathologique de Sugaku est classique : on ne peut trouver d'intervalle ]0, a] sur lequel g y garde un signe constant
"mis à part" ces cas pathologiques et donc avec des fonctions "relativement convenables" 
ma piste permet de prouver que :
1/ f'(0) = 0 (toujours vrai)
2/ f'(x)f'(-x) < 0 (f'(x) et f'(-x) n'ont pas même signe) (toujours vrai)
et donc dans le cas où f'(x) garde un signe constant (pas toujours vrai) sur l'intervalle ]0, a] (pour un certain réel a non nul) alors f(0) est bien un extrémum
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac