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Dérivabilité et différentiabilté
Bonjour!
J'ai des petits soucis sur cet exercice:
1) Soit N une norme sur 
. Montrer qu'il existe un réel 
>0 tel que
x
,N(x)=|x|.N est elle dérivable en 0( c'est ça que je n'arrive pas à montrer).
2)Soit 
:n*n
définie par xn,yn,(x,y)=(x|y) produit scalaire.
Montrer que est différentiable surn*n et préciser d(h,k) pour tout(h,k)n*n.
Merci d'avance.
aUREVOIR
Pour le 1) je te suggère de revenir à la définition initiale de la dérivabilité d'une fonction réelle de la variable réelle.
Pour le 2) connais-tu la différentielle des fonctions bilinéaires ? Cherche de ce côté...
Merci pour l'indication,j'ai trouvé que d(x,y)(h,k)=(x,k)+(h,y).
Je dois ensuite montrer que 
(x)=(x,x)est différentiable sur n,mais je n'arrive pas à l'expliquer et préciser d(x)(h) ,j'ai trouvé 2(x,h).
Je dois aussi montrer que N2(x)=
(x|x) est différentiable sur n-{O} mais encore ici je n'arrive pas à le montrer et je n'arrive pas non plus à trouver dN2(x)(h).
Merci bcp à ceux qui pourront m'aider.
Il s'agit, pour les deux cas, d'utiliser correctement le théorème de composition des différentielles.
En gros d(f o g)(a) = d(f)(g(a)) o d(g)(a).
Toute la difficulté est de comprendre cela. Le calcul différentiel n'est pas si difficile en soit mais nécessite de bien comprendre les notations et SURTOUT de ne pas se laisser impressionner par leur forme. Ainsi un NE signifie PAS que l'on dérive par rapport à la variable x mais par rapport à la première variable de f. C'est très très piégeant. Ainsi si l'on considère une fonction (x,y) -> f(x,y) et une fonction g, définie par g(x) = f(x,-x). On a pas
. (cf., pour cet exemple, le petit guide de calcul différentiel).
Pour revenir à ton propos, toute la différence entre et N2 c'est que le
n'est pas dérivable en 0...
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