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dérivabilité f définie au voisinage de x0
bonsoir !
j'aurais besoin d'un peu d'aide svp pour un exercice :
soit f définie au voisinage de x0 E R. si h un reel tel que f déinie sur [x0-h;x0+h], on note :
(x0,h) = f(x0 + h) - f(x0-h)
on définit ensuite, quand elle existe, la dérivée symétrique de f au point x0 par f's(x0) = lim ((x0,h)) / 2h quand h tend vers 0
1) f désigne une fonction définie au voisinage de x0 E R.
on suppose que f continue en x0. démontrer que lim ((x0,h)) = 0 quand h tend vers 0
2) on suppose que x0 = 0 et f(x0) = 1 , et que pour tout x différent de 0, f(x)=1/|x|
calculer (0,h) pour tout réel h puis déterminer lim ((x0,h))quand h tend vers 0
En déduire que la reciproque de la question 1 est fausse
3) f désigne une fonction définie au voisinage de x0 E R.
montrer que si f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche au point x0, alors elle admet une dérivée symétrique en x0. montrer alors la relation :
f's(x0) = 1/2 (f'g(x0) + f'd(x0) )
je vous remercie
bonne soirée !
bonsoir,
qu'est ce que tu ne sais pas faire?
1)
tu utilises le fait que quand h_>0 f(x0+h)->f(x0) du fait de la continuité de f en x0 .......
2)dans cette question f n'est pas continue en x0 et l'on va montrer que (x0,h) a quand même 0 pour limite quand h->0
3)tu ecris (x0,h)=(f(x0+h)-f(x0))+(f(x0)-f(x0-h))
la première c'est okay, d'ailleurs je ne sais pas pourquoi je ne l'ai pas signalé :p
par contre, je ne comprends pas pour la 2e question .. ??
merci beaucoup
(0,h)=f(0+h)-f(0-h)
si h non nul (0,h)=1/|-h|-1/|-h|=0
si h=0 (0,0)=f(0)-f(0)=1-1=0
si x0est non nul
(x0,h)=1/|x0+h|-1/|x0-h|
quand h->0lim(x0,h)=0
dans chaque cas lim(x0,h)=0 quand h->0
si la réciproque de 1) était exacte la fonction f serait continue or ce n'est pas le cas f n'est pas continue en 0 donc la réciproque de 1) est fausse
pouvez vous m'aider a retrouver la relation à la 3e question svp ??
merci beaucoup et bonne soirée !
bonsoir,
(f(x0+h)-f(x0-h))/2h=[f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)]/2h=
[f(x0+h)-f(x0)]/2h +[f(x0)-f(x0-h)]/2h
quand h->0 par valeurs positives
le premier rapport a pour limite f'd(x0)/2
et le second a pour limite f'g(x0)/2
on a donc f's(x0)=(f'd(x0)+f'g(x0)/2
on obtient le même résultat quand h tend vers zéro par valeurs négatives
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