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dérivabilité globale
bonsoir!
Voici l'énoncé de mon exercice:
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur [0,pi/2] telle que:
f(x)=(cos(x)-1)/sin(x) si x appartient a ]o,pi/2] et f(0)=0.
J'ai essayé le taux d'accroissement avec les formules de trigo mais je tombe sur une forme indéterminée...Pouvez vous me donner une piste?
Bonjour,
(f(x)-f(0))/x= (cosx-1)/xsinx
Utilise des développements au voisinage de 0
cosx= 1-x2/2 + o(x3)
xsinx= x2 + o(x2)
Donc lim (cox-1)/xsinx= -1/2
je n'ai pas encore fait les développements limités!
Tu as au moins vu que si une fonction est deux fois dérivable en 0 alors
f(x)= f(0) + f'(0).x + f''(0)x2/2 + x2e(x) ou e(x)-->0 quand x-->0
Appliqué à cosx
Cosx= 1-x2/2 + x2e1(x)
Appliqué à xsinx
xsinx= x2 +x2e2(x)
Alors (cosx-1)/xsinx= (-x2/2 + x2e1(x))/(x2+x2e2(x))= (-1/2) (1+e1(x))/e2(x)
Cette dernière expression à pour limite 0 en 0
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