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Dérivabilité sous le signe somme

Posté par
fusionfroide 17-05-07 à 19:00

Salut

On considère 4$f_x(t)=exp{\frac{-1}{2}(\frac{x^2}{t^2}+t^2)}

On pose 4$F(x)=\Bigint_0^{+\infty} f_x(t)dt

Je dois montrer que F est dérivable sur 4$\mathbb{R^*}

On a donc : 4$|\frac{\partial f_x(t)}{\partial x}|=\frac{|x|}{t^2}exp{-\frac{t^2}{2}}exp{-\frac{x^2}{2t^2}}

Je n'arrive pas à majorer par un truc intégrable !

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:06

salut fusionfroide

comme toujours, dans ce genre de problème, il ne faut pas raisonner globalement mais uniquement localement.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:09

Salut kaiser !

Justement j'y ai pensé et j'eesaie de le faire

Bon j'arrive à : 4$|\frac{\partial f_x(t)}{\partial x}|\le|x|exp{-\frac{t^2}{2}}

Mais même localement, la valeur absolue pose problème non ?

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:10

PS : juste des indices, merci

Posté par
Roulianere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:11

Bonsoir,

Personnellement, j'ai jamais compris pourquoi, pour la dérivabilité et la continuité, on n'avait pas besoin de considérer l'intervalle tout entier mais on pouvait raisonner localement ?
Peux-tu m'expliquer, kaiser ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:11

Pourquoi la valeur absolue te gêne-t-elle ?
Comme comprends-tu ma remarque sur le raisonnement local ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:14

Citation :
Comme comprends-tu ma remarque sur le raisonnement local ?


Bien en TD nous avons vu le raisonnement local et je vois tout-à-fait ce que tu veux dire.

Ici, on doit montrer que F est dérivable sur R privé de 0

On peut donc travailler sur ]-a,a[ avec a arbitraire.

Est-ce correct ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:16

Rouliane > par définition une fonction est continue sur un intervalle I si et seulement si elle est continue en chacun des points de I, donc si et seulement si elle est continue au voisinage de chaque point de I.
En effet, imaginons que l'on ait une fonction dont on veut montrer la continuité sur [0,1] : a priori, pour prouver la continuité de f en 0, on n'a pas besoin de savoir si elle est continue en 1.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:20

fusionfroide > ça serait plutôt sur un intervalle qui ne contient pas 0.
De plus, je me rends compte qu'on aura du mal à majorer ça par un truc intégrable (en 0, il y a un hic à cause du 1/t²). Il faut donc effectuer une transformation sur l'intégrale avant de dériver.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:20

Donc soit x \in ]-a,a[, on a donc |x| < a

Mais l'inégalité stricte ne pose pas de problème ?

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:20

ok oublie mon dernier message

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:21

Citation :
De plus, je me rends compte qu'on aura du mal à majorer ça par un truc intégrable (en 0, il y a un hic à cause du 1/t²). Il faut donc effectuer une transformation sur l'intégrale avant de dériver.


Oui mais on a t \neq 0 dans l'énoncé

Posté par
Roulianere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:25

merci kaiser.

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:25

oui mais même : on va avoir une fonction qui est en 1/t² au voisinage de 0 qui n'est pas intégrable

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:25

Rouliane >

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:26

ok kaiser alors comment fait-on dans ce cas ?

Une IPP ?

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:27

Ou un changement de variable ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:28

oui pour changement de variable !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:31



Juste une question (idiote sûrement mais bon...) : puisqu'on peut majorer 1/t² par 1, ne se débarasse-t-on pas du problème en 0 ?

Bon j'essaie un changement de variable

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:31

1/t² n'est pas borné : en 0, ça explose !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:38

oups oui tu as raison !!

sinon pour le changement de varaible j'ai testé u=x/t mais il me reste toujours un t !

As-tu trouvé ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:40

si tu fais, ça effectivement, tu vas encore avoir un problème.
Essaie un autre changement de variable.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:42

oui, j'en ai un autre en tête et celui-là ne va pas poser de problème, apparemment.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:43

je ne vois pas ! Comment fais-tu pour le voir du premier coup ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:45

je ne l'ai pas forcément vu du premier coup, mais j'essaie plusieurs trucs avant de tomber sur le bon. Sinon, il faut avoir certains changement de variable dit classiques en réserve.

Ici, c'est un changement de variable qui ressemble tout de même au tien.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:52

Bon, ce qu'on veut c'est se débarasser du 1/t² losrque l'on dérive.

En posant, u=t/x, cela semble réglé ...non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:54

oui !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 19:58

ah je suis content

Ok donc :

4$\Bigint_0^{+\infty} f_x(t)=\Bigint_0^{+\infty} x exp{-\frac{1}{2u^2}}exp{-\frac{u^2x}{2}}du=\Bigint_0^{+\infty} g(u,x)du

Donc 4$|\frac{\partial g_x(u)}{\partial x}|=|\frac{-u^2x}{2}exp{-\frac{u^2}{2}}exp{\frac{-u^2x}{2}}|

Tu trouves la même chose ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:01

dans l'exponentielle c'est x².
De plus, il ne faut pas oublier de dériver le x qui est facteur de l'exponentielle (tu as donc un produit à dériver)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:03

Ah oui désolé

I recommence

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:06

Je trouve finalement :

4$\frac{\partial g_x(u)}{\partial x}=exp{-\frac{1}{2u^2}}exp{-\frac{u^2x^2}{2}}(1-x^2)

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:09

attends je me suis sencore trompé !

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:10

Il y aussi un u² qui va tomber !
Je dois aller manger ! je reviens tout à l'heure.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:12

C'est :

4$\frac{\partial g_x(u)}{\partial x}=exp{-\frac{1}{2u^2}}exp{-\frac{u^2x^2}{2}}(1-xu^2)

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:12

Ok à tout à l'heure et bon appétit !

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:14

merci !

(oui, c'est bien ça !)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:39

ok ouf !

A mon tour je vais manger !

Tu restes ce soir ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 20:40

non, rien de spécial pour moi ce soir !
donc oui, je reste !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:20

désolé pour le retard

Donc on a : 4$\frac{\partial g_x(u)}{\partial x}=exp{-\frac{1}{2u^2}}exp{-\frac{u^2x^2}{2}}(1-xu^2)

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:21

Citation :
non, rien de spécial pour moi ce soir !


Pas de soirée étudiante bien arrosée

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:38

Ensuite on a :

4$|\frac{\partial g_x(u)}{\partial x}| \le (1+|x|u^2)exp{-\frac{1}{2u^2}}

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:40

Et là on se place d'abord sur ]-oo,a[ puis sur ]b,+oo[

Est-ce correct ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:53

Citation :
Pas de soirée étudiante bien arrosée


rien de rien !

sinon, il faudrait plutôt se placer sur un intervalle bornée à cause du x

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:57

La majoration est-elle correcte ?

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 21:58

Citation :
sinon, il faudrait plutôt se placer sur un intervalle bornée à cause du x


Bien vu !
On ne peut toujours pas prendre 0 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 22:02

on doit rejeter la valeur x=0 car dans le changement de variable précédent, il fallait le supposer ainsi.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 22:06

ok  

Sinon pour l'intervalle borné, je ne vois pas trop

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 22:06

peut-être ]0,a[ ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 22:07

tu peux considérer un ensemble symétrique par rapport à 0.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Dérivabilité sous le signe somme 17-05-07 à 22:10

bah ]-a,a[ mais là on prend 0

Je ne vois pas...

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