Bonjour.

Peux-tu nous préciser la question posée dans la seconde partie ?

A plus RR.

Bonjour Raymond !
La troisième questoion  est :
Soit n appartenant à N*, a1<a2<...<an appartenant à R et f est de classe Cn-1 ([a1,an]), f n fois dérivable sur [a1,an[.
On suppose que f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0 tel que f(z) = ([(z-a1)(z-a2)...(z-an)]/n!)*(dérivée nième de f en c)
Soit z appartenant à [a1,an] fixé.
On veut montrer qu'il existe c appartenant à ]a1,an[

On suppose z distinct de a1,a2,...an.
On pose g définie sur [a1,an] à valeurs dans R
qui à x associe f(x)-(x-a1)(x-a2)...(x-an)A où A est un réel tel que g(z)=0
i)Justifier l'existence de A en l'exprimant à l'aide de z.
ii)Montrer que g est de même régularité que f.
ii)Soit c appartenant à ]a1,an[. Montrer que c est comme voulu si et seulement la dérivée n-ième de g en c est égale à O.
iv)Justifier l'existence de c comme voulu

Merci d'avance pour la question 2 !
kkk

est-ce que quelq'un d'autre purrait me donner un petit coup de main ?

je suis vraiment désolée d'insister mais j'ai vraiment besoin d'aide..je suis complètement bloquée et j'ai une montagne de travail pour lundi...je ne m'en sors pas..
Pourriez-vous me donner une méthode pour cette question n°2, une piste, une interprétation, quelque chose qui pourrait m'aider à démarrer ?

Salut KKK,

je comprend pas quelle est la question à la 2)?

Pardon ! Il en manque en bout.
Merci Cauchy.
Voici la suit :
Montrer que si g s'annule n+1 fois dans [a,b] alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que la derivée n-ième de g s'annule.
Merci d'avance
kkk

Bonsoir à tous

KKK> essaie de faire une petite récurrence sur n en utilisant la question 1.

Kaiser

bonsoir kaiser !
le problème c'est que j'ai déj essaymais je tourne en rond !
Au rang 1 : si g s'annule 2 fois sur [a,b] alors f' sannule n-1 fois sur ]a,b[ d'après le 1).

Soit n appartenant à N*
On suppose que si g s'annule n+1 fois sur [a,b] alors g' s'annule n fois sur ]a,b[.
Si g s'annule n+2 fois alors g' s'anule n+1 fois..

Voilà où j'en suis !
Pas terrible non ?

Non pas du tout, c'est bien ça qu'il faut faire : g' vérifie l'hypothèse de récurrence au rang n+1 donc...

Kaiser

donc ce que j'ai commencé est correct ?
sinon .. bien je ne vous pas comment faire le lien por monter que la derivée n-ième de g s'annle en un point c..
il doit y avoir du Rolle qui intervient mais..ça bloque quelque part..(dans mpon cerveau du moins)

C'est la récurrence qui donne ça.
Au rang n=2, c'est OK.
On vient de montrer que si la propriété est vraie au rang n, alors elle est vraie au rang n+1. En effet, On suppose que g est une fonction de classe sur ]a,b[ et n+1 fois dérivable sur [a,b] qui s'annule au moins n+2 fois sur ]a,b[, alors d'après ce que tu as dit, en utilisant la question 1, g' s'annule au moins n+1 fois sur. De plus, g' est une fonction de classe sur ]a,b[ et n fois dérivable sur [a,b], donc on peut appliquer l'hypothèse de récurrence.

Kaiser

POor la rédaction de ma récurrence..mon début est-il correct ?

par contre je ne comprend pas, pourquoi est-ce vrai au rang 2 ? J'ai commencé au rang n+1...
Et puis pour la fin..j'en arrive à la conclusion que g s'annule n+1 fois..

oui !
mais ça ne me donne pas g^(n) (c)=0..

Pourquoi la dérivée nième de g ?
g' s'annule n+1 fois donc par hypothèse de récurrence s'annule au moins une fois, donc la récurrence est finie, non ?

Kaiser

ok !
Je reprend :
Peux-tu me corriger la récurrence ?

Au rang 1 :
Si g s'annule 2 fois sur [a,b] alors f' sannule n-1 fois sur ]a,b[ d'après le 1).
La relation est vérifiée au rang iitila n=1.

Soit n appartenant à N*
On suppose que si g s'annule n+1 fois sur [a,b] alors g' s'annule n fois sur ]a,b[.
Si g s'annule n+2 fois alors g' s'anule n+1 fois sur ]a,b[


On suppose que g est une fonction de classe Cn sur ]a,b[ et n+1 fois dérivable sur ]a,b[ qui s'annule a moins n+2 fois sur ]a,b[.
Comme g' est une fonction de classe Cn-1 sur ]a,b[, d'après l'hypothèse de récurrence g' s'anule n+1 fois sur ]a,b[.

Ainsi on a montré par récurrence que g s'annule n+1 fois dans [a,b] alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que la derivée n-ième de g s'annule.

Est-ce correct, cohérent..c'ets ce que j'ai écrit pour l'instant.

Bon alors je récapitule :

Au rang 1 :
Si g s'annule 2 fois sur [a,b] alors f' s'annule 1 fois sur ]a,b[ d'après le 1).
La relation est vérifiée au rang initial n=1.

Hérédité
Soit n appartenant à N*

On suppose que si g est une fonction de classe  Cn-1 sur ]a,b[ et n fois dérivable sur [a,b] qui s'annule n+1 fois sur ]a,b[, alors la dérivée nième de g s'annule au moins une fois sur ]a,b[.

Comme g' est de classe Cn-1 sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[
g'^(n) s'annule au moins une fois sur ]a,b[ d'où g^(n+1) s'annule au moins une fois sur cet intervalle et il existe c appartenant à ]a,b[ tel que
g^(n) (c) = 0

Conclusion : Ainsi par récurrence on a montré que pour tout n appartenant à N* que si g s'annule n+1 fois dans [a,b] alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que la derivée n-ième de g s'annule.

Tout est OK, à une faute de frappe près !

ok super !
Pour la suite voici ce que j'ai fait :
3)i-On pose g=f-P où P est un polynôme de degré n.
On a g^(n) (c)=0
P(x)=An!
or g^(n)(c)=0=f^(n)(c)=0-P^(n)(c)
                      =f^(n)(c)-An!
donc A=f^(n)(c) / n!
Soit f(z)=(z-a1)...(z-an)A
soit A=f(z)/(z-a1)...(z-an)

qu'en penses-tu ?