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Dérivation
Bonjour, j'aimerais savoir si mon raisonnement sur l'éxercice suivant est correct ou pas :
Soit f de [a,b] dans R dérivable
1)On note E={(x,y)
[a,b]2 tel que x < y}
et pour (x,y)E 
(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y)
Montrer que (E) est un intervalle.
j'ai d'abord dit que f est continue et que pour x et y dans E on a f(x)-f(y) continue et x-y<0
Donc (x,y) est continue donc (E) est un intervalle.
2)En déduire que f'([a,b]) est un intervalle
j'ai dit que pour tout 
dasn [a,b] on a
lim(x
)((f(x)-f())/x-=lim(x)(x,)=l
avec l(E)
donc f'([a,b])=(E) qui est un intervalle
Bonsoir ;
est une fonction à deux variables définie sur le triangle
de
et vu que
est connexe (puisque convexe) la continuité de
est une condition suffisante pour que l'ensemble
soit un connexe de
(c'est à dire un intervalle).
Pour établir la continuité de on peut utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité en effet si
est un point quelconque de
et
une suite d'éléments de
convergente vers
on a
et donc
(car
est continue) et par conséquent
.
Par définition de la dérivabilité de
en un point
le nombre dérivé
est limite d'une suite d'éléments de
donc à priori l'ensemble
est contenu dans l'adhérence
et le théorème des accroissements finis affirme que tout élément de
est un
d'un certain élément de
d'où
est contenu dans
est ainsi on voit que
est coincée entre un intervalle et son adhérence et il est topologiquement connu que toute partie coincée entre un connexe et son adhérence est aussi connexe
(sauf erreur bien entendu)
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