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dérivation d'intégrale

Posté par
slein1998 13-06-18 à 22:28

Bonsoir,

je me demande comment faire pour dériver deux intégrales particulières.

Pouvez vous d'abord bien me confirmer que l'on a la formule suivante ? :

F(x) := \int^{\psi (x) }_{\phi(x) } f(t) dt \implies F'(x) = \psi'(x) f( \psi(x) ) - \phi'(x) f(\phi(x) )



Mais comment intégrer des fonctions où f, dans l'expression au dessus, serait une fonction de x et de t?

concrétement, que faire de :

f(t) := \int^{ t }_{ 0 } \frac{ (t-x) e^{-x^2} } { sin^2 (t) }dx \\ f(x,y) := \int^{ 1+x^3 }_{ 1 } ch(xyt^3) + \sin(3xyt^2) dt

où l'on souhaite connaitre la dérivé de la première fonction, et la dérivé partielle selon x de la deuxième?


merci

Posté par
carpediemre : dérivation d'intégrale 13-06-18 à 22:43

salut

si F(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)dt et h est une primitive de f alors F(x) = h(u(x)) - h(v(x)) et il suffit de dériver ...

pour ta deuxième question :

1/ repérer la variable d'intégration

2/ toute autre variable n'est alors qu'un paramètre

dans les deux cas on peut noter h une primitive de l'intégrande en la variable d'intégration

Posté par
carpediemre : dérivation d'intégrale 13-06-18 à 22:44

permuter u et v ...

Posté par
slein1998re : dérivation d'intégrale 14-06-18 à 09:39

oui donc ma formule est juste? je suis aussi parti de ce que vous avez écrit pour avoir mon équation.


C'est possible d'avoir un exemple ? je comprends pas vraiment... j'ai jamais vu de calculs comme ça désolé d'être un peu perdu

Posté par
carpediemre : dérivation d'intégrale 14-06-18 à 15:33

soit f(x, y) = \int_1^{1 + x^3} [\cosh (xyt^3) + \sin (3xyt^2)]dt

soit g(x, y, t) = \cosh (xyt^3) + \sin (3xyt^2)

soit G la fonction définie par \dfrac {\partial G} {\partial t} (x, y, t) = g(x, y, t)

alors f(x, y) = G(x, y, 1 + x^3) - G(x, y, 1)

ouais bof ...


peut-être  \dfrac {\partial f} {\partial x} = 3x^2[ \cosh (xy(1 + x^3)^3) + \sin (3xy(1 + x^3)^2)]

Posté par
luzakre : dérivation d'intégrale 14-06-18 à 18:57

Pour ta deuxième fonction tu ferais mieux de considérer une composition de fonctions :

F : (u,x,y)\mapsto\int_1^{u}g(x,y,t)\mathrm{d}t et  f(x,y)=F(1+x^3,x,y) et d'utiliser le théorème de dérivation d'une fonction composée en sachant que

\dfrac{\partial F}{\partial u}(u,x,y)=g(x,y,u) et \dfrac{\partial F}{\partial x}(u,x,y)=\int_1^u\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y,t)\mathrm{d}t

Posté par
slein1998re : dérivation d'intégrale 14-06-18 à 20:17

merci pour vos réponses, je vais tacher de faire ça. Bonne soirée !


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