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Niveau maths spé
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dérivation d'une sommation

Posté par
cassandraw
28-08-12 à 00:47

boujour comment dérive t on une somme ?

pour tout x appartenant à IR+
Pn(x)=de k=1 à 2n pour ((-1)^k  *  x^k )/  k
montrer que Pn'(x) = ( x^(2n)  - 1   )/  ( x + 1 )

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 00:49

aussi toujours dans le meme exercice ,
comment on peut déduire le sens de variation ? car j'aurai du que x+1>0 donc Pn' est du signe de x^2n  -1
or je ne sais pas si on a le droit de dire que puisque n appartient à IN* et que x appartient à IR+ alors c'est positif ....

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 00:50

Salut,

La dérivée d'une somme, c'est simplement la somme des dérivée.

Quand tu dérives:

ax²+bx+c

Tu as bien:

2ax+b

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 00:52

Non, tu ne peux pas dire ça. Si x=0, tu vas voir par exemple que ce que tu essayes d'affirmer est faux.

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 00:53

je suis d'accord pour la dérivé mais je ne vois toujours pas comment je peux procéder avec le sommes (sigma) ca me bloque...

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:02

Bon la seule chose que tu as à dériver c'est x^k puisque tu dérives par rapport à x.

La dérivée de:
\sum_{x=0}^{2n} \frac{(-1)^k x^k}{k}

est alors:

 \\ \sum_{x=0}^{2n} \frac{(-1)^k kx^{k-1}}{k}

Jusque là, tu es d'accord?

Si tu vois mal la chose au début, tu peux écrire clairement les premiers termes et derniers termes de ta somme pour voir ce qu'il se passe.

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:05

au fait je sais pas pourquoi j'ai écrit sous la somme x=0 c'est bien entendu k=1.

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:07

oui je suis d'accord la

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:08

ah mais si sous la some c'est k qui varie il faut dérivé en fonction de k alors?

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:11

Donc tu peux simplifier par k, ok?

Tu as:

\sum_{k=1}^{2n} (-1)^kx^{k-1}

Et tu sais calculer cette somme?

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:15

Non, k n'est pas une vraie variable, on dit que c'est une variable muette. Si tu écrivais terme à terme ta somme, tu n'aurais pas de k.

Cette notation avec le sigma, c'est censé simplifier les choses.

Par exemple:

\sum_{k=1}^{n} x^k=x+x²+x^3+...+x^n

Tu vois bien que le k, il n'apparait plus quand on écrit "vraiment" les choses.

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:18

je comprends pas pourquoi c'est x qu'on dérive alors que c'est k qui varie ?

et sinon pour la somme, j'ai un peu du mal vu que cela va de k=1 à 2n ...

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:19

ah pardon je n'avais pas vu le post

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:20

Cette réponse c'est en ayant vu mon message que je t'ai écrit juste avant le tien?

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:20

ok.

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:21

oui voila c'est ça

mais par contre pour la somme , je ne vois pas comment on peut calculer

et sachant que si on regarde la réponse, j'ai l'impression que s'éloigne ...

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:25

Et si je te dis que:

\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k x^{k-1}= -\sum_{k=1}^{2n}(-x)^{k-1}

Tu ne reconnais rien?

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:28

hm... j'aurai penser aux sommes remarquables en faisant un changement de variable mais ça ne semble pas coller quand je le fais au brouillon ..

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:31

sinon à la suite géométrique mais bon ça me donne pas le résultat ...

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:33

C'est une suite géométrique en fait:

-\sum_{k=1}^{2n} (-x)^{k-1}=-\frac{1-(-x)^{2n}}{1-(-x)}

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:37

ah ok merci

mais le résultat est x^2n  -1 / x+1
ou a disparu le - de x au numérateur?

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:43

-\sum_{k=1}^{2n}(-x)^{k-1}=-\frac{1-(-x)^{2n}}{1-(-x)}=\frac{(-1)^{2n}(x)^{2n}-1}{1+x}=CQFD

Car (-1)^{2n}=((-1)^2)^n=1

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:47

ah oui d'accord merci

jviens de remarquer, en fait comment ca se fait que il y a un moins devant la somme ?

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 01:49

C'est parce que, j'ai trafiqué le (-1)^k en (-1)(-1)^{k-1}

Pour avoir la même puissance que le x^{k-1}

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 10:19

ah oui merci beaucoup !

sinon concernant l'étude de variations, est ce que je peux dire que x^2n  -1 = (x-1)^2n
comme la fonction carré est toujours positif et que n appartient à IN* alors c'est aussi positif?

Posté par
cassandraw
Etude de fonctions 28-08-12 à 11:00

bonjour je bloque sur un exercice , est ce qu'on me m'aider ?

voila l'énoncé

pour tout x appartenant à IR+, Pn(x)=somme de k=1 à 2n pour ((-1)^k* x^k) / k
1) étude de variations et tableau de variations
j'ai trouvé que Pn'(x)= (x^2n - 1) / (x+1)
puisque x+1>0 alors Pn' dépend du signe de (x^2n - 1 ) or x^2n -1 = (x^2-1)^n donc Pn' s'annule en zéro
et Pn'>O
donc Pn' croissant
en fait je ne sais pas si mon raisonnement est correcte...

2) prouver que pour tout n appartenant à N* Pn(1)<0
pour cette question je ne sais pas comment faire ...

3) vérifier que pour tout n appartenant à IN* et pour tout IR appartenant à R+ , Pn+1(x)= Pn(x)+ x^(2n+1)* (x/(2n+2) - 1/(2n+1) )
en déduire alors que pour tout n appartenant à N*, Pn(2)> ou égale à O
4) montrer que pour tout n de N*, Pn(x)=0 admet une unique solution Xn sur (1;+oo( et que 1<Xn<ou égale2



5) justifier que pour tout n appartenan à IN* et x appartenant à IR+, Pn(x)= de O à x pour (t^2n  -1 )/( t+1)dt

j'ai penser à faire un changement de variable mais je ne sais pas si c'est correcte...

6) en  déduire que pour tout n de N*, de 1à Xn pour (t^(2n) -1)/t+1 dt = de 0 à 1 pour 1-t^2n/t+1 dt

je bloque ici...

7)a) prouver que pour tout t (1; +oo( , t^2n  -1 n(t^(2)-1)
b) en déduire que de 1 à Xn pour t^2n  -1 / t+1 n/2 * (Xn-1)^2
c) prouver alors que 0<Xn-1<(2ln2/n)

*** message déplacé ***
* Océane > pose toutes les questions de ton exercice dans le même topic cassandraw, merci *

Posté par
verdurin
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 12:15

Bonjour.
Pour la question 1) ton raisonnement est faux : il commence par une erreur facile à faire, mais assez grave.
On a
x^{2n}-1=(x^n+1)(x^n-1)\neq (x^2-1)^n sauf pour quelque valeur de x.

Il est facile de calculer directement P_n '(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1

*** message déplacé ***

Posté par
verdurin
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 12:23

Pour la question 2) on peut regarder ce qui se passe pour les petites valeurs de n :

P_1(1)=\frac{-1}1+\frac12\\
 \\ P_2(1)=(\frac{-1}1+\frac12)+\5frac{-1}3+\frac14)\\
 \\ P_3(1)=(\frac{-1}1+\frac12)+(\frac{-1}3+\frac14)+(\frac{-1}5+\frac16)

On peut voir que ces nombres sont négatifs sans faire le calcul.
Ce qui devrait suggérer idée une démonstration.

*** message déplacé ***

Posté par
alban
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 12:32

Bonjour,

Outre le fait que , est-ce que c'est moi qui ne sait plus dériver un polynôme ou est-ce qu'il ya une erreur grossière dans la question 1) ?

*** message déplacé ***

Posté par
alban
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 12:36

Ca m'apprendra à ne pas lire entre les lignes et comprendre que l'OP n'a pas expliqué qu'il/elle a caché des calculs !
(cela dit, je ne suis pas le seul...)

*** message déplacé ***

Posté par
cassandraw
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 14:08

pour la question 1) , la dérivé est correcte car dans l'énoncé il nous ont demander de justifier que Pn'(x) = (x^(2n)-1) / (x+1)

*** message déplacé ***

Posté par
cassandraw
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 14:12

@verdurin :
merci de m'avoir corrigé mais je ne comprends pas en quoi le fait de calculer Pn'(o) va me permettre de trouver le sens de variation

est ce que pour la 2) c'est une récurrence ?

*** message déplacé ***

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 14:17

Mais le problème c'est que ton égalité est fausse.

La fonction définie par:

f_n(x)=x^2n-1 est croissante sur [0;+l'infini[

Essayes alors de voir si elle s'annule. Sachant que en 0 on a:

f_n(0)=-1

En +l'infini sa limite vaut + l'infini.

Bon en fait avec ce que je t'ai dit tu sais qu'elle s'annule comme c'est une fonction continue.

Posté par
verdurin
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 14:20

Pour le 2) on peut faire une récurrence.

Pour la 1) le calcul de P_n'(0) est juste un exemple.

L'aide c'est
 x^{2n}-1=(x^n+1)(x^n-1)

*** message déplacé ***

Posté par
cassandraw
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 14:46

ah oui ok merci

mais la puissance me bloque la , comme je fais pour trouver x s'annule en quoi
?

x^n = -1
et ensuite ?

*** message déplacé ***

Posté par
cassandraw
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 14:56

pour la question 4) a) j'ai trouvé mais pour la 4b) faut aussi faire une récurrence?

*** message déplacé ***

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 15:02

par contre la fonction c'est

fn(x) = x^(2n) -1 / x+1

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 15:25

En fait c'est comme t'as dit :

Sur R+, x+1>0

Alors tu étudies le signe de:

f_n(x)=x^{2n}-1

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 15:27

si par ex je fais ça :
x^(2n)-1 = (x^(n)-1)(x^(n)+1)
après il y a le n qui me gène

Posté par
verdurin
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 15:34

Je suppose que la question 4)b) demande de vérifier que x_n<2

Il suffit de montrer que P_n(2)>0 en utilisant la question 3 et une récurrence.

*** message déplacé ***

Posté par
verdurin
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 15:38

Juste une remarque :
on sait que n\ge1 donc la fonction x\mapsto x^n est continue et strictement croissante sur [0;\+\infty[

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 15:51

Oui verdurin, je l'ai écrit dans l'un de mes messages précédent.

J'ai implicitement dit qu'on pouvait utiliser le th. des valeurs intermédiaires.

Enfin dans ce cas là c'est un peu plus compliqué car, il faut étudier le signe des 2 facteurs.

En réalité, il nous reste juste à savoir quand:

x^{2n}-1=0

Sauf erreurs de ma part.

Posté par
verdurin
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 15:56

Salut numero10,
je m'excuse : je n'ai pas lu tout le fil.

En fait j'étais en train de répondre à cassandraw sur un autre fil, et j'ai vu remonter celui là.

De toutes façons, il y a des choses qui ne perdent pas à être répétées.

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 16:03

Oui, pas de problèmes, ce n'était pas un reproche .

Bonne journée.

Posté par
cassandraw
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 16:20

ah d'accord merci

est ce que vous pourriez me donner ausis un indice sur la 7)a)

*** message déplacé ***

Posté par
verdurin
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 16:28

Pour la 7)a) on peut vérifier que la propriété est vraie pour t=1,
puis montrer que la fonction t\mapsto t^{2n}-n t^2 est croissante sur [1;+\infty[. Par exemple en calculant sa dérivée.

*** message déplacé ***

Posté par
cassandraw
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 18:52

merci pour toutes vos réponses

Posté par
cassandraw
re : Etude de fonctions 28-08-12 à 18:53

merci

*** message déplacé ***

Posté par
numero10
re : dérivation d'une sommation 28-08-12 à 20:50

De rien, n'hésites pas si t'as d'autres questions.

Posté par
Hamzawnr
re : dérivation d'une sommation 04-12-16 à 17:28

C'est une suite géométrique en fait:

-\sum_{k=1}^{2n} (-x)^{k-1}=-\frac{1-(-x)^{2n}}{1-(-x)}
j'ai pas compris cette etape !!

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