Niveau autre

dérivation des fonctions composées.

Posté par
letonio 15-09-05 à 00:36

Bonjour tout le monde,
Je cherche à bien comprendre la démonstration sur la dérivation des fonctions composées.

Deux fonctions g et f
f:I-->IR et g:J-->J
f(I)={f(x); x appartient à I} contenu dans J $x_0$ appartient à I.

Si f est dérivable en $x_0$ , g est dérivable en f( $x_0$ ), alors
gof est dérivable en $x_0$ et (gof)(x)= g'(f(x)).f'(x)

Il me semble que le but de la démonstration est d'arriver à cette dernière expression de gof.
Or ma démonstration m'amène à :
g(f(x))= g(f( $x_0$ )+ g'(f( $x_0$ ))f'( $x_0$ )x +x(x)
avec $f(x_0)$ = $x_0$ =0

si je note g'(f( $x_0$ ))f'( $x_0$ )= a
je retombe sur ma formule :
f(x)= f( $x_0$ )+ f'( $x_0$ )h + h(h)

Je peux donc dire que (gof)(x) admet un DL à l'ordre 1 en f( $x_0$ )
et donc en $x_0$ et que gof est dérivable en $x_0$ .
Par contre comment est ce qu'on démontre à partir de là que:
(gof)(x)= g'(f(x)).f'(x)

Est-ce que je dois dériver (gof)(x)= g(0)+ g'(0)f'(0)h +h(h)?
(gof)'(x)= g'(0)f'(0) + (h(h))'

Et je ne vois pas où ça me mène.
Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair?

Posté par dérivation des fonctions composées 15-09-05 à 01:12

bonsoir
essaye de procéder par définition:
Soit $x_0\in{I}$
$\lim_{x\to{x_0}}\frac{g[(f(x)]-g[(f(x_0)]}{x-x_0}=\lim_{x\to{x_0}}\frac{g[(f(x)]-g[(f(x_0)]}{f(x)-f(x_0)}\time\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g'[f(x_0)]\time{f'(x_0)}$

Posté par re : dérivation des fonctions composées. 15-09-05 à 01:20

De mémoire, il faut utiliser le fait que :

g est dérivable en $x_{0}$ , on a donc :

g( $x_{0}+h$ )=g( $x_{0}$ )+hg'( $x_{0}$ )+h1(h) où 1(h)0    (1)

De plus, f est dérivable en g( $x_{0}$ ), on a donc :

f[g( $x_{0}$ )+k]=f[g( $x_{0}$ )]+kf'(g( $x_{0}$ ))+k2(k) où 2(k)0  (2)

On cherche maintenant à exprimer f[g( $x_{0}$ +h)]

On a : f[g( $x_{0}$ +h)]=f[g( $x_{0}$ )+hg'( $x_{0}$ )+h1(h)] ( en remplaçant simplement g( $x_{0}+h$ ) par l'expression  (1)  )

En notant k=hg'( $x_{0}$ )+h1(h), on peut appliquer la formule trouvée au (2) ( on remplaçe dedans la valeur de k précédente)

On arrive alors à :

f[g( $x_{0}$ +h)]=f[g( $x_{0}$ )]+h[g'( $x_{0})$ f'(g( $x_{0}$ )] + h1(h)f'(g( $x_{0}$ )) + h1(h)2[hg'( $x_{0}$ )+h1(h)]

On en déduit donc que $fog$ est dérivable en $x_{0}$ et :

$(fog)$ '( $x_{0}$ )=f'[g( $x_{0}$ )]g'( $x_{0}$ )

sauf erreur

Posté par re : dérivation des fonctions composées. 15-09-05 à 01:21

j'ai pas fait la fin de mémoire

Posté par re : dérivation des fonctions composées. 15-09-05 à 02:06

Je ne lis pas vos messages, parce que je viens d'avoir une illumination dans mon lit

g(f(x))= g(f( $x_0$ )+h)= g(f( $x_0$ ))+ g'(f( $x_0$ ))f'( $x_0$ )h + h(h)

d'où    [g(f( $x_0$ )+h)- g(f( $x_0$ ))]/h= g'(f( $x_0$ ))f'( $x_0$ )+ (h)

Et
$\lim_{h\to 0} [g(f(x_0)+h)-g(f(x_0))]/h$ = $\lim_{h\to 0} g'(f(x_0))f'(x_0)+epsilon(h)$ = $\lim_{h\to 0} g'(f(x_0))f'(x_0)$ = $g'(f(x_0))f'(x_0)$

Donc  (gof)'( $x_0$ )= $g'(f(x_0))f'(x_0)$

Est-ce que c'est correct?

Posté par re : dérivation des fonctions composées. 15-09-05 à 09:10

J'ai repris vos démonstrations. Merci à vous. Je suis maintenant archi au point, vu que je suis capable de démontrer ça de trois manières différentes.

Posté par re : dérivation des fonctions composées. 16-09-05 à 09:04

Au fait c'était de l'humour... J'avais oublié le smiley.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

dérivation des fonctions composées.

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths