Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

Dérivation intégrale et fonction Gaussienne

Posté par
Zrun 14-02-16 à 11:07

Bonjour à tous,
Je suis face à un exo assez dur pour moi et j'espère que vous pourriez me donner des indications.
L'énoncé:
  On considère les fonctions A(t)=(e-x²dx)² entre 0 et t et B(t)=-(e-t²(1+x²))dx/(1+x²) entre 0 et 1.
   1) Montrer que ces fonctions ont la même dérivée.
   2) En déduire que G(x) dx  entre - et + vaut 1( G(x) est la fonction gaussienne).

Pour la 1) j'ai trouvé que la dérivée de A(t)= 2e-t²e-y²dy   entre 0 et t. J'ai trouvé le même résultat pour B'(t).

Pour la 2), je bloque. On a A'(t)-B'(t)=0 donc A(t)-B(t)=k où k est fixé.
En évaluant en 0 on trouve k= /4 .
Après je sais plus quoi faire.

Pourriez-vous me dire dans quel sens chercher.
Merci

Posté par
mdr_nonre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 12:14

bonjour : )

Depuis quand A(t), B(t) ou G(x) sont des fonctions ?

C'est bien d'avoir trouvé pi/4 il ne reste plus qu'à voir que
\int_\mathbb{R} G(t)\mathrm{d}t = 2\lim_{t\to\infty}\sqrt{A(t)} = ...

Posté par
Zrunre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 15:37

Salut mdr_non,
Merci pour ta réponse.
Effectivement A,B et G sont des fonctions mais pas A(t),B(t) et G(t).
Cependant, j'appelle fontion gaussienne la courbe d'équation G(x)=(e-x²/2)/2. Il me semble donc que ton résultat considère la mauvaise courbe ou alors je suis bête!!!

Toutefois, ton calcul me donne   .

J'ai donc encore besoin d'aide....

Posté par
mdr_nonre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 15:41

Citation :
Cependant, j'appelle fontion gaussienne la courbe d'équation G(x)=(e-x²/2)/2.
Tu peux adapter à la relation donnée dans mon message alors, il s'agissait d'exprimer l'intégrale de G sur R en fonction de A.

Donc avec cette définition de G, on obtient ?

Posté par
Zrunre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 15:49

Je crois que j'y suis G(t)= 2/2 lim t  2A(t) .

Posté par
mdr_nonre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 15:59

Attention.

\large G(x) = \frac{e^{-x^2/2}}{2\pi} \\ \\ \int_\mathbb{R} G(x)\mathrm{d}x = 2\int_{0}^{\infty}G(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-x^2/2}\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x

Ok ?

Posté par
mdr_nonre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 16:01

Oui en fait tu avais mis le racine de 2 mais je n'avais pas compris.

On trouve : \large \int_\mathbb{R} G(x)\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \lim_{t\to\infty} \sqrt{A(t)}

Posté par
Zrunre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 16:02

Je ne voit pas d'où sort le 2 à la fin.

Posté par
mdr_nonre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 16:10

En faisant un changement de variable, sinon tu ne peux pas retrouver A(t).

\large\int_{0}^{\infty}e^{-x^2/2}\mathrm{d}x
On pose u = \frac{x}{\sqrt{2}}  \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}x = 0 \Rightarrow u = 0 \\ x \to \infty \Rightarrow u \to \infty \\ \mathrm{d}x = \sqrt{2}\mathrm{d}u \\ u^2 = \frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.

Ainsi : \large \int_{0}^{\infty}e^{-x^2/2}\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty}\sqrt{2}e^{-u^2}\mathrm{d}u

Posté par
Zrunre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 16:11

C'était évident !!! Merci beaucoup.

Posté par
mdr_nonre : Dérivation intégrale et fonction Gaussienne 14-02-16 à 16:13

je t'en prie : ) bonne continuation : )


Rechercher
Menu
Espace membre
4 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !