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Dérivation-isomorphisme réciproque
Bonjour 
je crois que j'ai besoin d'aide sur une question d'algèbre
alors: on considère En l'espace vectoriel des fonctions de classe Cn sur [0,1] et N le sous espace vectoriel de E2 des fonctions f vérifiant:f(0)=f(1)=0
u l'application linéaire: u:N-->E0,f-->f''(la dérivée seconde de f)
d'abord on prend une fonction g de E0, et on définit G:[0,1]-->R,x-->1/2 * l'intégrale de 0à1 de abs(x-t)* g(t) dt
on me demande de montrer que que G
E2, et de calcuuler G'': je trouve G''=g
après on me demande d'en déduire que u est un isomorphisme et d'expliciter u^-1
là j'ai pensé à poser v:f---> 1/2 * l'intégrale de 0à1 de abs(x-t)* f(t) dt (avec x dans [0,1] fixé)
on a bien u°v=id mais c'est l'ensemble d'arrivée de v qui me gène: on doit arriver dans un N pour composer avec u.
et même avec u°v=id, ça ne serait suffisant pour conclure parce qu'on est pas en dimension finie
voilà un peu d'aide sur ces points serait très appréciable, merci
Bonjour et merci pour votre réponse
mais est ce qu'on sait que v arrive dans N pour pouvoir écrire u°v?
Ben, on te demande de le prouver! (Montrer que ). Bien sur il faut aussi vérifier que
. Si ce n'est pas le cas, on peut toujours ajouter un polynôme du premier degré pour corriger...
Oui j'ai montré que GE2 mais c'est le G(0)=G(1)=0 qui gène parce que ce n'est pas toujours le cas.
j'ai en effet pensé rajouter à l'expression de v un terme du type a(f)*x + b(f), où a(f) et b(f) sont des constantes choisies de manière à ce que v(f) s'annule en 0 et en 1, est ce que c'est suffisant ?
parce que je ne vois comment expliciter ces constantes.
Ok merci
Du coup pour u^-1 est égal à v n'est ce pas ? Mais il faut aussi calculer v•u pour conclure parce qu'on est pas en dimension finie
Non, si on sait que est bijective et que
en composant par
à gauche on trouve directement
et ça suffit.
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